N:o 10. Über eine Verallgemeinm-ung der Riemannsclien Function l.{s)- 49 



Producten der Form (83) erhalten wurden, ist nicht auf die betreffenden Fälle 

 allein beschränkt. Handelt es sich allgemeiner um eine ganze transcendente 

 Function von endlichem Range, für welche a, , a-^, ... a„, ... die Reihe der 

 Nullstellen bildet, so hat man vor allem die Fragen zu beantworten, ob die 

 durch die Reihe 



00 



-1 



X 



detinirte Function ausserhalb des Convergenzbereiches dieser Reihe existirt 

 und wie sie sich im Unendlichen verhält. Obwohl Untersuchungen dieser Na- 

 tur im allgemeinen grosse Schwierigkeiten darbieten, so giebt es andererseits 

 auch beinerkenswerthe Fälle speciellerer Alt, wo die betreffende Methode wirk- 

 Uch zum Ziele führt. 



Hiprzti gehören beispielsweise die im § 8 mit P„{x) bezeichneten Producte. 



Einige Andeutungen mögen hier hinsichtlich des Productes 



2r + l 



^o(^)= II \-^+P 



v = 



Platz linden, welches bekanntlich zu den multiplicatorisch periodischen Functio- 

 nen mit zwei wesenthchen singulären Stellen in demselben Verhältnisse steht 

 wie r{x) zu den trigonometrischen Functionen. Es ist deshalb von Interesse, 

 dass auch für log Pg (x) eine asymtotische Formel hergeleitet werden kann, 

 welche der Stirling 'sehen Formel entspricht. 

 Für log P(,{x) hat man die Reihe 



00 



"^ X^ 



Nehmen vir der Einfachheit halber i? reel und positiv an, so ist also 



r + 1 00 c + i 00 



log Po (x) = —----. -, ch — - -^r—. — -. -. — dz, 



sin sez sin aiz z 



c — 100 



WO 



< c < 1 , p — e", 



