Ariti deiti Gebiete' der Kugelfiindione7i. 



Erste Abtlaeilung. 



Darstellung der Ku;;elfuiU'tioiien erster und zweiter Art mittels unendlicher 

 Reihen und geschlossener Ausdrücke. 



Differentialgleichung und Definition der Kugelfunctionen. 



2. Wir definiren die Kiigeltünctionen in hcuii)tsäcliliclier üebereinstimiuung mit 

 Herrn F. Neumann '). 



Die Kugelfunctionen sind zwei partilculäre Integrale der von Legendbe auf- 

 gestellten Differentialgleichung 



oder, in ein wenig veränderter Form, 



(2) /^{(,_,.)g + „(„ + l), = 0, 



Es bedeutet n eine ganze, positive Zahl. Weil die Differentialgleichung (1), welche 



noch in die Form 



/■Qx ^ 2a; dz n(,n + l)_ 



^"^' dx'"l'X^dx "^ l-x' '"" 



gesetzt werden mag, eine lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefflcienten 

 ist, ergeben sich unmittelbar als einzige Stellen in der Ebene der complexen Grösse 

 X, welche singulare Stellen der Integrale sein können, die folgenden: .t = 1, x = —l, 

 x = oo. Nebst diesen Stellen kommt oft die reguläre Stelle x =: in Betracht. 



Man nennt Kugelfunction erster Art und bezeichnet mit P„(x) ein parti- 

 kuläres Integral der Differentialgleichung (1), welches für x—1 und x = — 1 endlich 

 bleibt, und für .r = oo unendlich wird. Ferner nennt man Kugelfunction zwei- 

 ter Art und bezeichnet mit Q„ix) ein Integral der Gl. (1), welches für a;=l und 

 .T = — 1 unendlich wird und für x = x verschwindet. Dass Integrale mit diesen 

 Eigenschaften wirklich existiren, wird aus den Art. 5, 9 und 15 hervorgehen. 



*) Vergleiche die Einleitung der Abhandlung von F. Neumann: Beiträge zur Theorie der 

 Kugelfunctionen. Leipzig 1878. 



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