6 Hj. Tallcjvist. 



Zur vollständigen Definition von P„ (x) und Q„ (.«■) gehört noch die Feststellung 

 der multiplikativ auftretenden Constanten. Diese soll so gewählt werden, dass P„ (1) 

 gleich 1 wird, und dass Ç„ (x), welches für x—1 wie C log (x — 1) unendlich wird, 

 genau wie — log (x — 1) unendlich werde. 



Für F^ (,i') und Q„ (,r) lassen sich für die ganze Ebene gültige, geschlossene Aus- 

 drücke aufstellen, und zwar ist P, (.c) eine ganze rationale Function vom ?i:ten 

 Grade. In dem Ausdrucke für Q„ix) treten keine höheren Transcendenten wie der 

 natürliche Logarithmus auf. 



3. Die s. g. abgeleiteten Kugelfunctionen erster und zweiter Art 

 werden beziehungsweise durch die Gleichungen 



(4) ^-(^> = (^ -^^)^-S^^ = ^' -"^ ^"""^' 

 und 



(5) Q„j(.x) = (1 - x') '' -^ = (1 - -r^) Q'il' (x) 



definirt. Diese Functionen sind partikuläre Integrale der Differentialgleichung ;o 



(6) (1 -*')'^ -2* (1 - X') Il + |w (n + 1) -/ - w (n + 1) x^j s = 0. 

 welcher auch die Form 



gegeben werden kann. Hierbei bedeuten n und ; ganze positive Zahlen. 



Die abgeleiteten Kugelfunctionen zweiter Art verschwinden für x — co, 

 und werden unendhch gross für x^=l und x^= — 1 (Art. 27). 



Die durch (4) deflnirten abgeleiteten Kugelfunctionen erster Art behal- 

 ten eine Bedeutung nur so lange als j kleiner oder gleich n ist, wie man sieht, 

 wenn man sich erinnert, dass P„ (x) eine ganze rationale Function vom Grade n ist. 

 Die Functionen P„(.c), wo j^n ist, bilden die erste Classe der abgeleiteten Ku- 

 gelfunctionen erster Art. ■■ •' 



Wenn j>n ist, so besitzt die Differentialgleichung (6) zwei partikuläre Inte- 

 grale, S^ (x) und T^j (x), von welchen S„j {x) für x — — l verschwindet und für 

 ;«=1 unendhch wird, während T^j(x) für a;=l verschwindet und für x = — l un- 

 endhch wird (Art. 30). Die constanten Factoren in S„j(,c) und T^j{x) lassen sich 

 so wählen, dass die lineare Relation, welche zwischen S^j(_x\ T^-{x) und Q„j{x) be- 

 stehen muss, die Form 



(8) Qnj(^) = S„j(x)-T„j(.x) 



annimmt. 



T. XXVI. 



