Åns (lem Gebiete der Kugelfunctionen. 7 



Die Functionen S^j(x) und T^i-c) bilden die beiden Ab t heil ungen der ab- 

 geleiteten Kugelfunctionen erster Art und zweiter Classe. 



Fundamentalsystem partikulärer Integrale der Differentialgleichung der Kugel- 

 functionen in der Umgebung von r :=: 0. Geschlossene Ausdrücke 

 für die Functionen P^ (r) und Q^ (c). 



4. Weil die Stelle x=0 fi\r die Integrale der Differentialgleichung (1) eine 

 reguläre Stelle ist, müssen zwei von einander unabhängige partikuläre Integrale 

 existiren, welche in Form von Reihen nach wachsenden positiven Potenzen von x 

 darstellbar sind. Substituirt man in der That in der Differentialgleichung (1) eine 

 Reihe von der Form 



s = a» + a, .-r + «2 «' H h a,„ a;'" H , 



so ergibt sich mittels eines bekannten Verfahrens das allgemeine Intégral 



„ / w(w + l) (w-2)w(w + l)(w + 3 ) I , , 



/ (n-i)(n + 2) (w-3)(«-l) ( w + 2)(« + 4) _ \ 

 '^n,\ 3^ ^ "^ 5! * ■■■■/ 



Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein:*) 



(8) S„ (,x) = 1 - ^^-l) X' + (n-2)n( n + l)in + 3) ^, 



(w - 4) (n - 2) M (n + 1) (w + 3) (w + 5) 



(9) S„ (.) = .- (^iZllH^tl) ,3 + (>'-3)(«-l)(n-f2)(,» + 4) ^„ 



Dann bilden 



p., = fi„(a;), 



( n - 5) (w - 3) (n - 1) (« + 2 ) (w + 4) (w + 6) 



7! ^"^" 



(10) s 



ein Fundamentalsystem partikulärer Integrale, welches innerhalb eines Kreises Be- 

 deutung besitzt, dessen Mittelpunkt x^O ist und welcher sich bis zum nächsten 

 singulären Punkte erstreckt, d. h. hier wenigstens bis zum Einheitspunkte der 

 x-Ebene. 



*) F. Neümann, a. a. 0. p. 57. 

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