s Hj. Tali.qvist. 



5. Von den beiden Reihen (8) und (9) ist die eine immer eine endliche Reihe, 

 d.h. eine ganze rationale Function von x, und zwar ^„(x), wenn n eine gerade 

 Zahl ist, und ©„(.t), wenn n eine ungerade Zahl ist. Die ganze Function ist vom 

 Grade n und stellt ein partikuläres Integral dar, welches natürlich in der ganzen 

 Ebene Bedeutung hat. Dieses Integral ist, abgesehen von einem constanten Factor, 

 die Kugelfuhction erster Art. Wir setzen 



(11) P„C<0 = C,Ä„(.r), 



wenn n gerade ist, und 



(12) P„(a.)= C ©„(.*), 



wenn n ungerade ist. Die Constanten C'i und C2 könnten als aus den gewöhn- 

 lichen Darstellungen der Function P^ (x) bekannt hingeschrieben werden. Um die- 

 selben jedoch gemäss der im Art. 2 gestellten Bedingung P^(l)=l unabhängig und 

 ohne Weitläufigkeit zu bestimmen, bedienen wir uns der für die GAUSs'ische hy- 

 pergeometrische Reihe 



geltenden Formel 



welche voraussetzt, dass y — « — /S > O ist, wenn «, ß und y réel sind und die Reihe 

 eine unendliche ist, bei einer endlichen Reihe dagegen ohne Beschränkung ange- 

 wandt werden kann. In dem letzten Falle kann es vorkommen, dass das rechte 

 Glied von (14) in einer unbestimmten Form auftritt, deren wahrer Werth er- 

 mittelt werden muss. 



Nach den Formeln (8) und (9) hat man 



(15) s„(,).^(-|,'i±J, i.x^) 



(16) ©„ (X) = xf(-^1, ""-^^ , f , a-^) . 



Es möge jetzt die Bestimmung des Coefficienten C\ der Gleichung (11) ausge- 

 führt werden. In diesem Falle ist also n eine gerade Zahl. Man erhält aus (11) 

 und (15), für x = 1, 



Versucht man aber die Werthe 



(1/) « = -2- ^=^2^' »"=2 



Ï. XXVI. 



