10 Hj. Tallqvist. 



(25) P M = <-U^ l-3-5--. -( «-l) / _ M(« + 1) (n-2)w( w + l)(w + 3) _ ^ 

 V -' -^» '■■'•' ^ 'f 2-4-6----W \ 2! 4! ' ' ' "/ ' 



falls n gerade, und 



« — 1 



^ '^ -^»W-l J> 2-4-6----(M-l) (* 3! * + 



falls n ungerade. 



2 • 4 ■ 6 • • • ■ (m - 1) V 



(n-3)(w-l)(w + 2)(w + 4) \ 



"^ 5! a; ••••p 



6. Ordnet man die Reihen (25) und (26) nach absteigenden Potenzen von x, so 

 bekommt man aus beiden dieselbe Entwickelung 



m^ P (r) l-3-5----(2w-l) f " w(>i-l) »-2 w(w-l)(w-2)(n-3 ) «-4 1 



(^7) i-^W- ^j , ja; 272¥^^ + 2 -4(2 w- 1)(2 « -3) * f' 



Diese Reihe endet mit einem constanten Gliede oder mit einem die erste Potenz 

 von X enthaltenden Gliede, je nachdem n gerade oder ungerade ist. 

 Mit Anwendung des Zeichens 



/7(w) = l-2-3----w = »!= r(M + l), 



wobei 



/7(0) = 1 



zu nehmen ist, kann die Formel (27) auch in die Form 



f.o, p (rv Tl{2n) (n w(w-l) »-2 w(w-l)( w-2)(w-3) «-■» I 



(äi) ''^'~'2''nHn)\ 2(2w-l)* "^ 2-4(2w-l)(2M-3) * ■"7 



gesetzt werden. 



Es ist 



P„(a;) = l. 



7. Für ein gerades n ist P^ (x) eine gerade < Function von x, für ein ungerades 

 n ist sie ein ungerade Function von x. 



Also ist mit Anwendung der Bezeichnungen n = 2 v und n = 2 v + 1 bez. 



■P2 »(-*) = ^2 *(a;), 



allgemein 



(29) P„(-x) = (-irP„(,x). 



Wir stellen unten einige ausgezeichnete Werthe der Function P„ (x) zusam- 

 men, und bedienen uns dabei nöthigenfalls des Substitutionszeichens 



T. XXVI. 



