Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 11 



\ nx)^fib)-f(a). 



Diese Werthe ergeben sich aus (25), (26), (27) und (29): 



(30) P2A0)=i-if 'tlë:^'.i:'^ (-1,2,3....) 



(31) f^^.(_,- ^-3-5-^-.(2..1) (..o,.2....). 



(32) P„(l) = l; P,. (-!) = (- D". 



(») rP;^^l.3.5....(2.-l) („ = 1,2,3....). 



Ix' nl 



8. Die eine der Reihen (8) und (9) ist immer eine unendliche Reihe, welche 

 innerhalb des Einheitskreises convergent ist. Die Kugelfunction zweiter Art Q„{x) 

 fällt jedoch nicht mit dieser Reihe zusammen, sondern ist eine lineare Verbindung 

 von den beiden Reihen, die jetzt aufgesucht werden soll. Zu diesem Zweciie leiten 

 wir zuerst einen geschlossenen, für die ganze Ebene geltenden Ausdruck für 

 Q., (x) her. 



Wenn eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 



<^) . äl+^E + «^- = ° 



das partikuläre Integral 



3 = 2/ 



besitzt, so ist bekanntlich auch 



/—/Pdx 



ein partikuläres Integral der Ditferentialgleichung *). 



*) Aus z" + Pz'+Qs = 0, 



folgt ja 



y^"-^y'' = A log {1,5' - stj') = - p , 



somit 



— /pdx 



yz'-zy' = e 



, , . —JPdx 



yz' — zy' _ d_ (s\ ^ e 



if ~ dx \y' y- 



^'=yj^~^^ — '^^' 



N:o 4. 



