12 Hj. Tallqvist. 



In der Gl. (1) hat man 



^=-r^=^i°s(^--'>- 



2x_ d 

 ■X 



Somit folgt 



-fFdx c 



c 



Nimmt man ferner in der Gleichung (35) 



so folgt 



(36) s=CP„{x)j '^^ 



P„'(,x){l-x')- 



Um hiervon zu ^„ (.p) zu gelangen, müssen die untere Grenze des Integrals und die 

 Constante C angemessen bestimmt werden, mit Beachtung des im Art. 2 Hervor- 

 gehobenen. 



Die untere Grenze des Integrals ist oo , vsreil Q^ (x) für x = co verschwinden 

 muss. Man hat also 



(37) y„(x)=CP„(x)l p^.(^)(i_^ V)- 



Die Constante C ergiebt sich bei Entwickelung nach Potenzen von (x — 1). Es ist 



P„ix) = l+c(x-l) + ----. 

 Hieraus folgt 



P7(^»y=-2Tarrr)((i+'=>(-^>+---) 



und 



Q„(.x) = -^log(,x-l)+C,+ C,(x-l) + ----. 



Nach der Bestimmung auf p. 6 muss also 



= 2 



sein, und es ist 



dx 



(88) 



QA^) = 2PAcc)f p7(|fr3-xr) = 2Pn(x)/^ p;. 



(x)(x'-l)- 



9. Der Integralausdruck (38) soll jetzt ausgeführt werden. Wir bezeichnen 

 die n Wurzeln von P,, (x) mit «i , «2 • • • «j • • • «„ und erhalten durch Zerlegung in 

 Partialbrüche 



(39) 



L = _i L_ Y A +Y^i- 



°„' (^) (1 - a;'') 2(a;+l) 2(x-l) ^^(x-.^)» ^ ^a;-«,' 



T. XXVI. 



