Aus dem Gebiete der Kugelfnttctioiien. 13 



worin 



(40) A=P ^'~"'^^' 

 und 



(41) ^J"' A )<-'-■>' I 



'I dx]P„'{x)(l-x^-)l 



sind. 



Die Gleiciiung (39) vereinfaciit sich jedocli, indem es sicii beweisen lässt, dass 

 säraratliciie B. gleicli Null sind. Setzt man nämlich, mit Weglassung der Kürze 

 wegen des Index i, 



P„{a:) = (x-a)H(x), 



worin H (x) eine ganze rationale Function vom Grade n — 1 ist, so erhält man 



<*2> ^-l"äx{w(xk-^^-t'!' 



(x^ - l) W (,x) + X n(,x) 

 H'(a;)(l-a!T 



Indem man ferner den Ausdruck P^ (x) — (x — a) H (x) in die Ditt'.-Gl. (1) ein- 

 führt, bekommt man für H{a.^ die Gl. 



(l-x-^) \{x - a) H" (x) + 2 H' (x)^l -2x !^(x - a) W (x) + ü (.r ) ^ + W (w + 1) (x -a)H{x) = 0, 



woraus für x = ci hervorgeht: 



r \ (a;^ -\)H'(x) + xH{x)\ = 0. 



Nach (42) ist somit 



B. = 0, (« = 1, 2,---«) 



Statt der Gl. (89) tritt jetzt die Gl. 



(43) 1 ^ 1 1 I V ^' 



P„Hx)(l-x') 2(x + 1) 2(x-l) ^2j (x-«.)'' 



Setzt man diesen Ausdruck in (38) ein und führt die Integration aus, so bekommt 

 man 



(44) r-t-l v-< Ä, 



Ç„(a.) = P„(^)log^-2P„ (.)2;^_-^.- 



Das zweite Glied rechts ist eine ganze rationale Function vom Grade n— l. 

 Dieselbe werde mit i?„ (x) bezeichnet. Dann ist also der gesuchte geschlossene 

 Ausdruck für die Kugelfunction zweiter Art 



(45) Q„ (^) = Pn (^) log ~\ + R„ (.^) ■ 



N:o 4. 



