14 Hj. Tallqvist. 



Dieser Ausdruck zeigt, dass Ç,, (x) für x = ] und x = — 1 logaritmisch un- 

 endlich wird (vergl. Art. 2). 

 Man beachte, dass 



«/00 5i ' 



Für die Function Ä„ (x) in (45), welche von den unbekannten Constanten A^ 

 abhängt, muss noch ein völlig bestimmter Ausdruck hergestellt werden. Derselbe 

 ergiebt sich folgenderweise. Durch Substitution des Ausdruckes (45) in die Ditferen- 

 tialgleichung (1) findet man 



, d'R„ dR„ ) 



-^{^'-'^'^^^-'-'d^ + ^^^ + '^S^'' 



somit, weil P„ix) ein partikuläres Integral der Gl. (1) ist, für -ff„(x) die Diff. gl. 



d^R„ dR„ dP„ 



(47) (,_,.)__»_2x ^" + „(„+1)^^-4-^. 



R^^ {x) ist eine ganze rationale Function vom Grade n — 1 und muss folglich 



in die Form 



(48) i?„ = ai P„ _ 1 + «2 P„_2+ • ••• + «,■ i'« _, + •••• + a„ P. 



dP„ 

 gesetzt werden können, wo die Coefficienten a zu bestimmen sind. -^ ist eben- 

 falls eine ganze rationale Function vom Grade n — 1, und somit in der Form (48) 

 darstellbar. Man hat 



^^^^ ^ = (2«-l)P„_i-f(2w-5)P„_3 + (2'«-9>P„_5 + .-.-*) 



*) Diese in der Theorie der Kugelfunctionen öfters angewandte Formel lässt sich so 



herleiten. Es ist 



d P„ , , d P„ 1 

 i2n + ^P„ = -i^ —^ (- = 1-2-3....), 



wie man mit Hülfe der Ausdrücke (25) und (26) olme Mühe direct verificirt. Somit folgt, in 

 dem n mit w— 1, m — 3 u. s. w. ersetzt wird, 



cZP„ dP„_2 



-^ =-i— + (2»«-l)P„_x, 



dP„_2 dP._. 



dP-_4 dP„_^ 



',■- .' 

 und durch Addition dieser Gleichungen die gesuchte Formel (49). 



T. XXVI. 



