Aus dem Gaieté der Kuf/elfunctionen. 15 



Setzt man jetzt die Ausdrücke (48) und (49) in die Gl. (47) ein, so muss sie durcli 

 angemessene Bestimmung der Coefflcienten a zu einer identischen gemacht werden 

 können. Weil P _,. der Diff.-Gl. 



(i-^')^^-2a:-^ + («-0(«-« + i)P„_, = o 



genügt, bekommt man links in (47) als Factor von P„_i 



aÅn{n + l)-{n- l){n-i + \)\ = a^i{2n- l+l) . 



Für ein gerades i muss diese Grösse gleich Null sein, und somit a. = 0, für ein un- 

 gerades i muss sie gleich — 4 (2 n — 2 i + 1) sein ; folglich ist 



4(2n-2t + l) 

 °''~ i{2n-i-\-\) ■ 



Hieraus ergiebt sich endlich 



(50) Ä-.W = -2{'-ff^P„-i(-) + ^£f)P„-3(-) + ^^)P.._5W + ---;, 



3 Pi (x) P„ (x) 



WO das letzte Klammerglied gleich 7^^ ^ oder gleich ""^nT i^t» J^ nach- 



dem n gerade oder ungerade ist. 



Wir führen noch den schliesslichen Ausdruck für Ç„ (.r) an: 



(61) e«w-n(-)iogS-2f-f:;>,,_,(.).3^^^p,,_3<-^^-ÄI^p--5w+---j. 



(M=l, 2, 3 ). 



11. Es fragt sich nun, wie die Kugelfunction zweiter Art innerhalb des Ein- 

 heitskreises der .T-Ebene sich mittelst der Reihen S^ {x) und ©^ {x) ausdrücken lässt. 



Zwischen den drei partikulären Integralen ^„(.v)» S„ (^) und Q„{x) besteht eine 

 lineare Relation 



(52) Qn (a=) = -4 fi„ (X) + B @„ (x) . 



wo A und B Constanten bedeuten. Differentiirt man (52) ein Mal, so bekommt man 



(53) Q'Jx) = A^'„{x) + BB'„{x), 



und setzt man jetzt in den Gleichungen (52) und (53) x = 0, so ergiebt sich, mit 

 Beachtung der Ausdrücke (8) und (9), 



A=Q„{0); B=Q-„(0). 



Also ist 



(54) Qn (^) = Q„ (0) s„ M + §;, (0) e„ w . 



N:o 4. 



