16 Hj. Tall^vist. 



Die Grössen Q^ (0) und Q'^ (0) sollen jetzt berechnet werden. Hierbei sind zwei 

 alle von einander zu unterscheiden. 



Erster FaH: n ist gerade. 



Es ergiebt sich Q„ (0) unmittelbar aus der Formel (51), worin die Kugelfunctio- 

 nen erster Art mit ungeradem Index verschwinden, und zwar erhält man für Ç„ (0) 

 den rein imaginären Werth 

 (55 a) y„(0) = -P„(0)log(-l),*) 



und mit Anwendung von (30) weiter 



71 



(55 b) ç,,(o) = -(_l)2L|^|^_ll(^)log(-l). 



Die Constante ç;, (0) bestimmt man am einfachsten mit Hülfe des Ausdruckes 

 (38). Es wird zuerst 



P„Hx)a-fl"') 

 nach Potenzen von .r entwickelt, 



1 1 



ferner wird integrirt, 



dx , X 



+ c X» + • 



A 



'^1+ D S/n\ + ''2aî + 



P„Ux)(l-x^) "'■^P„MO) 



und mit 2 P„ (.r) = 2 P, (0) + ffi .t^ H multiplicirt. Somit folgt 



Q„(oo) = bo + p^x + b,x' + ----. 

 Also ist die gesuchte Grösse Q'„ (0) reel und gleich 



n 



^.-«v ^f .«X 2 / ^x 2"o 2 •4-6 n 



(^> 9'.W = p;;7ö) = (-'> ^r .3-5----(n-i) - 



Zweiter Fall: n ist ungerade. 



In diesem Falle ergiebt sich Q'„ (0) mittelst der Formel (51), indem man diffe- 

 rentiirt und nachher ,'C = setzt. Man findet, mit Beachtung auch von (31), 



« + i 



— Q — 1 • '^ ■ S • • ■ ■ 37 



(57) Q;(0) = -P:(0)log(-l)-(-l) 2- -4-6----(w-l) '°g^~^^- 



Ç; (0) ist folglich rein imaginär. 



*) Man beachte, dass log'^-t- in die Form log(.'r -H)-log(x- 1) aufgelöst werde. 

 x — l 



T. XXVI. 



