Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 17 



9,, (0) wird mittelst der Formel (38) folgenderweise l^ereclinet: 



1 11 



+ Co + c'i X- + ■ 



/" 



P„^ (x) (1 - a;') P'J" (0) »■ 

 dx 1 1 



- + c + Co a- + Cj a:^ 



•P„°- (x) (1 - a;=) p;_' (0) Û5 



p,^m^ I p„m 



Ç„(a~)= J2P'„(0).r + o,.T^+.--[ j - -^-L + c + Coa;+ ■ • • • [ ^ - — 1_ + i,, a- + ^x' + 



Somit ist C^*,, (0) reel und hat den Werth 

 (ö8) y„(0) = r^-=(-n ^ 2 



p;_(0) 1-3-5----M 



Wir stellen unten die schliersslichen Ergebnisse der Untersuchungen in diesem 

 Art. zusammen, und fügen zur Darstelking der Kugelfunction zweiter Art Q^^ (.r) 

 der Ueliersicht wegen auch die Ausdrücke für die Kugelfunction erster Art liei. 



n gerade = 2, 4, G • < 





n ungerade =: 1, 3, 5 . 



12. Der Ausdruck (51) zeigt, dass Ç,, (;r) eine unendlicli vieldeutige Function 

 von X ist, und zwar unterscheiden sich sämmtliche Functionswerthe, welche dem- 

 sellDen Werthe von x angehören, durch ganze Vielfache von 2 sti P^ (x). Geht man 

 von einem bestimmten Anfangswerthe von Q^ (x) aus und lässt x einmal den sin- 

 gulären Punkt 1 in positivem Sinne umkreisen und zu dem Ausgangspunkte zurück- 

 kehren, so wächst Q„{x) um —2niP^^{x). Einem einmahgen Umkreisen im posi- 

 tiven Sinne um den zweiten singulären Punkt — 1 entspricht die Zunahme von 

 Ç„(.T) mit 2^iP (.r). 



Geht man von den Ausdrücken (38) aus, so kommt die Vieldeutigkeit zu 

 Stande durch verschiedene Wahl des Integrationsweges. Es unterliegt keiner 



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