18 Hj. Tallqvist. 



Schwierigkeit nach dem eben Gesagten die Veränderung von Q„(x) längs einem 

 beliebigen geschlossenen Integrationswege zu bestimmen. 



Es sei noch bemerkt, dass der rein imaginäre Theil von Q„{x) für reelle 

 Werthe von x eine ungerade Vielfache von sr/ P„ (.r) ist, wenn x zwischen — 1 

 und + 1 liegt, und eine gerade Vielfache derselben Grösse ist, wenn der absolute 

 Betrag von x grösser als 1 ist. Somit existiren stetig auf einander folgende reelle 

 Werthe von Q„ (x) für reelle Werthe von x, nur wenn — oo < a; < 1 oder 

 1 < a; < 00 ist. *) 



Die vieldeutige Function Q„ (x) soll jetzt zu einer eindeutigen Function verwandelt 

 icerden. Zu diesem Zwecke führt man in der ,x-Ebene einen RiEMANNSchen Schnitt 

 längs der Axe des Reellen, vom Punkte —1 zum Punkte +1, und stellt ausser- 

 dem fest, dass Q^ (x) in den Theilen der Axe des Reellen, wo | a; [ > 1 ist, nur reelle 

 Werthe annehmen darf, was nach dem oben Gefundenen immer möglich ist. 



Q„ix) ändert sich in der ganzen Ebene stetig, ausgenommen in den Punkten 

 — 1 und + 1 und beim Ueberschreiten des Querschnittes. Geschieht das Ueher- 

 schreiten von der oberen (positiven) Halbebene zur unteren (negativen) Halbebene 

 durch den Werth x, so wächst Q„ (x) plötzlich um 2 3tiP^(x). 



Wir unterscheiden die beiden a; Werthe an den Ufern des Querschnittes nöthi- 

 genfalls durch die Bezeichnungen x + O-i und a; — • i 



13. Der Werth von log(— 1) = (2p + 1) «j im Art. 11 kann jetzt näher fest- 

 gestellt werden, und zwar hat man überall log (— 1) = ± ^i, y>'o das obere oder 

 untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem x in der oberen oder unteren Halbebene 

 sich befindet (selbstverständlich innerhalb des Einhetskreises). Also ist 



falls n gerade ^ 2, 4, 6 



und falls 7t tingerade =1, 3, 5 



^«*> Ç. (^) = (-) "^ {^ ^fe^^-^ ^« (^) ± -^ 2-:tl^--f) ^.. ^-) } ■ 



In den Formeln (63) und (64) wird das obere Zeichen in dem positiven, das 

 untere in dem negativen Theile des Einheitskreises genommen. 



*) Es verdient bemerkt zu werden, dass Q„ (sc) auch in einzelnen Punkten des zwischen 

 -1 und +1 liegenden Stückes der Axe des Reellen reelle Werthe annimmt, und zwar in den 

 Wurzelpunkten von P„ (x) = 0. Man vergleiche auch die Berechnung der Werthe Q„ (0) im Art. 11. 



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