20 Hj. TALLiiviöT. 



(71) f^^^=_i. r'-««i^-^. (-,)", 



I lOg(x-l) '' I \0g(x+l) '^ 



(72) 



/00 



Fundamentalsystem partikulärer Integrale der Differentialgleichung der 

 Kugelfunotionen in der Umgebung von ic := oo , 



15. Man erhält nunmehr ohne Mühe ein Fundamentalsystem partikulärer In- 

 tegrale der Differentialgleichung (1) für die Umgebung des Punktes a; = oo, d. h. 

 hier für den aussei'halb des Einheitskreises gelegenen Theil der x-Ebene, ohne die 



Differentialgleichung durch die Substituten « = — transformiren zn Ijrauchen. 



Als ein partikuläres Integral haben wir natürlich C P„ (x), wo C eine beliebige 



Constante ist, und zwar gilt dieses Integral für die ganze Ebene. Wir nehmen 



nach (27) 



(70X , _„« n{n-l) "~^ n(n-l)(n-2)(n-3) "~ 



(/ä) 2^ ^_j. _______ a= +2-4.(2w-l)(2w-3) "^ 



Weil die Differentialgleichung (1) ungeändert bleibt, wenn n mit — (n + 1) 

 ersetzt wird, muss aus dem allgemeinen Gliede der Reihe (73) durch dieselbe Sub- 

 stitution sich ein allgemeines Glied einer Reihe ergeben, welche ebenfalls der Diffe- 

 rentialgleichung genügt. Es handelt sich um das Anfangsglied dieser Reihe. Setzt 



man in (1) z:^~:., so erhält man die determinirende Gleichung 



r(r- l)-w(w + l)-0, 

 mit den Wurzeln 



r = — n und -/• = w -f 1 . 



Das gesuchte Anfangsglied enthält somit die Potenz x~^"'^^\ d. h. es entsteht aus 

 dem Anfangsgliede von (73). Man hat folglich als zweites partikuläres Integral 



1 (n + 1)(n-f2) 1 (n + l)(n + 2)(n + 3 }(n + i) 1 

 (74) ~co2-^„ + i+ 2(2w + 3) a;"+^ 2 • 4(2 w-f 3) (2 w-f 5} a;" + '^ 



wobei zugleich bemerkt werden darf, dass die Reihe (74) eine unendliche Reihe ist, 

 während (73) eine endhche Reihe darstellt. 



Die Functionen P„ (x) und Q„ (x) sollen jetzt mittels der Reihen (73) und (74) 

 ausgedrückt werden. Es ist 



T. XXVI. 



