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Hj. Tallqvist. 



Die endgültige Formel für das zweite partikuläre Integral der Diff.-61. (1) in 

 der Umgebung von x:=l, welches innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkte 

 1 und dem Radius 2 Bedeutung hat, ist 



(89) .. ^ Q,. (X) = -.{,+ ^J^ (^> + («^« + 110. + 2) ^^J_^ . . . . 1 ,0, (, _ , 



+ ho + b,ix~l) + b,Jx-iy + ■■■■. 



Für log (.T — 1) ist der Hauptwerth zu nehmen, d. h. in dem oberen Halbkreise ein 

 zwischen und sri gelegener rein imaginärer Theil und in dem unteren Halbkreise 

 ein zwischen und — sri gelegener rein imaginärer Theil. 



17. Aus (81) oder (84) ergeben sich die folgenden speciellen Werthe der Ab- 

 geleiteten von P„ {x), für ;ï = 1. 



(w-l)n(w+l)(w + 2) 



(90) 



KO)-"^"-^ 



p„0) 



2-4 



i'P(l) = 



(w -i + 1) (w - j + 2) • • • ■ (w +j - 1) (w +j) 



1-2-3- 



^» ^ ' 2-4- 



2-4-6 



•(2w) 



•2i 



6- 



•2w 



1 • 3 • 5 • • • ■ (2 »z - 1 ) . 



lp(" + '-'(l) = 0; (r=l, 2, 3...-). 



Hieraus folgt ferner, mit Anwendung der Formel 



4'' {~x) = {-i) " +•' P^^' (,x-) ; U = 0, 1, 2 . . . 



das System der Werthe, für .r = — 1 , 

 (P„(-i) = (-i)", 



p;(-i) = -(-i/''^+l), 



P" r_ n - r_ 1 ..■ (w-l)w(w + l)(w + 2) 

 » ^ ■* ~ ^ ' 2-4 ' 



PU) r_ n - /_ 1 v + J (» -J + 1) (w -i + 2) • ■ ■ ■ (w +i - l)(w +,f) 

 ^n ^ ^)-'^ ^) 2-4-6----2i 



pW(-l) = 1.3-5.---(2H-l). 



Pi" + ''>(-l) = 0; (r=], 2, 3----). 



•«.), 



(91) 



T. XXV r. 



