Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 25 



18. Aus den Werthen (91) folgt unmittelbar die Entwickelung von P„ (x) 

 nach Potenzen von .r + 1, nämlich 



(92) 



, ,v.„ _Pr,.^-, iv.(, M(w + 1) x + l (w-i)n(w+l)(n + 2)/a: + lY \ 



(-1) -_ii--f„W-(-i) ^1- jj 2 + (1.2)* \ 2 / /■ 



Dieselbe Entwickelung ergiebt sich aus (81), mdem man bemerkt, dass die Diffe- 

 rentialgleichung (1) ungeändert bleibt, vrenn x mit — x vertauscht wird, und dass 

 ^«(-1) = (-1)'' ist. 



In analoger Weise leitet man aus (89) und (88) das für die Umgebung von 

 x=^ — 1 geltende zweite partikuläre Integral ab: 



(93) (- ir._,,=(?„(x)=(- ir{i-"-(^^+<?^^i>^f^^ 



■i-l)" {K-b,{x + \-) + h.{x + \y }, 



wobei 



fÖo = log2±jr/ + i?„(l), 



(94) 



&i= K (l){log2±;ri + B„(l)-i?i(l)J+yP„(l), 



^^ = Y\Pn (l){l0g2±;ri+B„(l)-E,(l)}+y|P,;(l)-y^P„(l), 



''3 = ^-P:"(l){log2±:ii + E„(l)-B3(l)) + |y^i':(l)-y^^P:(l) + y^P„(l), 



dem log {x + 1) der Hauptwerth zu geben ist, sowie in den Formeln (94) das obere 

 oder untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem der imaginäre Theil von x positiv 

 oder negativ ist. 



19. Ordnet man die endlichen Reihen (81) und (92) nach abnehmenden Po- 

 tenzen von :(' — 1 und x + 1 bezw., so erhält man die folgenden Ausdrücke : 



(95) P„(x)= ^-^-"-;,<^^-^> {(.-l)%2^-^;-^(x-l)'-V 



«*(« — ly M — 2 -i 



+ ^'r2 2;(2n-l) ("-^) +••••}• 



(96) 



p.(^)^ ^-^-^-,;^^'^-^^ {(x-M)''-2^^(x-+i)"-v 



+ ^' 1 .2 2.(2. 37) (-^ + ^) +••••}• 



Durch Vertauschung von n gegen — (w + 1) (vergl. Art. 15) erhält man hier- 

 aus neue Integrale der Differentialgleichung (1), welche nach negativen, abnehmen- 

 den Potenzen von x — 1 und x-\-l bezw. fortschreiten, für x = oo Null von der 

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