28 Hj. Tallqvist. 



Durch Anwendung der Substitution 



(108) x = 2îj-l; 2/ = ^^. ^ 



welche die Werthe ;t;= — 1, 1, oo in t/ = 0, 1, oo bezw. verwandelt, geht die Diff.- 

 Gl. (1) über in 



(109) y(l-y)^, + il-2y)^ + n(n+l)s = 0. 



Diese Gl. stimmt vollständig mit der Gl. (107) überein, wenn 



ia = n + l, 



(110) \ß = -n, 



genommen wird. 



Die Wurzeldifferenzen der determinirenden Gleichungen von (109) sind 



l-y = 0, 



^ V-a-ß = 0, 



ß-a = -2n-l, 



somit sind zwei der Differenzen Null und die dritte ist eine ganze Zahl. 



Man findet eine eingehende Behandlung der Differentialgleichung der hyper- 

 geometrischen Reihe in dem Falle, dass unter den Wurzeldifferenzen der determi- 

 nirenden Gleichungen ganze Zahlen oder die Zahl Null vorkommen, in der Abhand- 

 lung von Herrn E. Lindelöf: „Sur l'intégration de l'équation différentielle de 

 Kummer" *) sowie einige weitere Beiträge in unserer Arbeit „Sur la representation 

 conforme des aires planes" **). Herr Lindelöp macht ausser von der hypergeome- 

 trischen Reihe i^(«, ft y, a;) von einer zweiten Reihe SKft)', •'^) Gebrauch, in de- 

 ren Ausdrucke eine gewisse transcendente Constante N vorkommt und für deren 

 Definition wir auf die Abhandlung selbst verweisen müssen. 



In dem hier vorkommenden Falle sind jedoch die in den oben genannten Ab- 

 handlungen gegebenen Formeln nicht zureichend für die Construction sämmtlicher 

 Systeme partikulärer Integrale der Differentialgleichung (109) in den Umgebungen 

 der singulären Stellen, und für die Bestimmung der Constanten in den hnearen 

 Relationen. Es verlieren nämhch die auftretende Constante N= N{a, ß,l) und die 

 Reihe g («, ß, 1, y) ***) ihre Bedeutung, weil die eine der Constanten « und ß eine 

 negative ganze Zahl ist. Die ebenfalls auftretende Constante C {a, a, a — ß-\-l) ist 



*) Acta Soc. Scient. Fenn. Tom. XIX JV» 1. 

 **) Acta Soc. Scient. Fenn. Tom. XX JV« 13. 

 ***) Lindelöf, a. a. 0. p. 14, 15 und 23. 



T. XXVI. 



