Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 29 



gleich Null und die Reihe §[«,«,« — |î + 1, — ^ leducirt sich zu einer gewöhn- 

 lichen (endlichen) hypergeometrischen Reihe. Ohne auf diejenigen Modificationen 

 einzugehen, derer die Methode der Integration der Differentialgleichung der hyper- 

 geometrischeii Reihe, bez. die Definition einer Reihe /Ç («, ^, y, .?■) in dem Falle be- 

 darf, in welchem die Wurzeldifferenzen 1 — y, / — « — ß und ß — a ganze Zahlen und 

 « oder ß oder beide negative ganze Zahlen sind, stellen wir die folgenden Aus- 

 drücke für P^ (a-) und Q„ {x) mittels hypergeometrischer Reihen zusammen : 



(111) P„{x) = FU + l,-n,\,^~^\ = {~\)"F(n + \,-n,\}-^\. 



P« {x) = r — (a; - 1) Fi -n,-n,-2n, = 



"^ ' Ml \ 1-x J 



(112) 



1 • 3 • 5 • ■ • • (2 n - 1) 



(X 



+ lfF(^-n,-n,-2n,^y 



(113) 



(114) 



-^ i.3.5..":(2.+i) (-+')""""'^("+^'^+^-^-'+^'r-rx)- 



■ ,, l-3-5----(2w-l) „„/1-w w 1 1\ 



Man beachte auch die Ausdrücke (15) und (16). 



Differentialgleichung der abgeleiteten Kugelfunctionen. 



22. Es sei z ein Integral der Differentialgleichung der Kugelfunctionen 



(1) (l-^'>df«-2x^^+w(«+l)3 = 0. 



und man bilde 



dJs (i) 



(115) " = 5^ = ^ • 



Alsdann genügt tj einer Differentialgleichung, welche aus (1) dadurch hervorgeht, 

 dass man j Mal differentiirt und -^. mit i? ersetzt. Diese Gleichung ist 



(116) (l-a!')S-2O'+l)a;£ + (»2-j)(n-fi+l)7, = 0. 



dx^ dx 



N:o 4. 



