80 Hj. Tallqvist. 



Setzt man erner 



so ergiebt sich die folgende Differentialgleichung für f: 



(118) (l-a-Tf|-2x(l-x=)2 + JK(w + l)-/-«(w + l):ï^jg = 0, 



d. h. die Differentialgleichung der s. g. abgeleiteten Kugelfunctionen (vergl. 

 Art. 3). 



Weil die Gl. (1) die Integrale P„(.ï) und Q^(x) hat, so hat die Gleichung (118) 

 die Integrale 



119) 



P^(x) = {l-x'')^F^J^(x), 



b 



Q„Ax)=i\-x'f qI/'Cx) 



von denen jedoch die erste P^j (.r) nur so lange von Null verschieden bleibt, als j kleiner 

 oder gleich n ist. Die Functionen P^^ix) sind nach Art. 3 die abgeleiteten Ku- 

 gelfunctionen erster Art 'und erster Classe, die Functionen Q„j(x) die ab- 

 geleiteten Kugelfunctionen zweiter Art. 



Für die Functionen P„j(x) und Q„j{x) können nur die Stellen x^—1, x^l 

 und .r=oo singulare Stellen sein, ohne dass jedoch alle diese Stellen es auf ein 

 Mal sein müssen. Für ein ungerades ; tritt in den Punkten .t = — 1 und .«=1 

 eine Verzweigung von P„j(x) und Q„jix) ein. Alsdann hat man sich die .c-Ebene 

 als eine RiEMANNSche Doppelebene zu denken, deren beide Blätter längs der gera- 

 den Linie von x= — l bis .x=:= 1 mit einander zusammenhängen. 



Wir behalten jedoch nur das eine Blatt mit dem Querschnitte von — 1 bis 



-f- 1 und nehmen für j ungerade (1 — x^) auf der reellen Achse zwischen + 1 

 und + 00 positiv imaginär. Beim Ueberschreiten des Querschnittes multiplicirt 

 sich diese Grösse mit (— l)-^'. 



Fundamentalsystem partikulärer Integrale der Differentialgleichung der ab- 

 geleiteten Kugelfunctionen in den Umgebungen von x = 0, für j ^ n. 



23. Nach der gewöhnlichen Methode ergeben sich für die Umgebung von rc = 

 die folgenden partikulären Integrale von (116), welche zusammen ein Fundamental- 

 system bilden, es sei i^w oder j>w, 



(121) e„,(^)-x + ^^'-^ + ^)3y + >^ + ^-)x3 + (^'-^ + ^)(^'-" + ^>;^' + ^ + '>(^' + ^ +i>.° + ---. 



T. XXVI. 



