Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 



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Von diesen beiden Reihen ist die erste oder zweite eine endliciie, je nachdem 

 n-\- j gerade oder ungerade ist. 



24. Man erhält, indem man zuerst aus (2-5) und (26) durch j-malige Differen- 

 tiation, wobei j<n angenommen wird, die Werthe 



(122) 



»+j 



P^f{Q) = {-l) ' ^ o^?.«!.^"/!^/ ^' falls w gerade, . y gerade , 



p(/+i>(0) = (-l) 



2-4.6----(«-j/-) 



» + j + 1 



1 • 3 ■ 5 ■ ■ • ■ (w +J") 

 2 • 4 • 6 ■ • • ■ (n - j - 1) ' 



falls n gerade, ,;' ungerade , 



»+j-\ 



PI/ + 1> (0) = (- 1) ^ V ^ft ^ " ' 7 ^" t-^^ ^ , falls n ungerade, J gerade , 



2.4-6----(w-y-l)' 



•>+J-2 



Pn' (0) = (- 1) 2-4-6-.. (n-)") ' ^^^^^ " ungerade, j ungerade 



ableitet, das folgende System zur Darstellung der abgeleiteten Kugelfunction erster 

 Art und erster Classe: 



(vorausgesetzt j ^ ti) 



Pnj (a:) = (- 1) ^ 2-4-6"'-(w-^ ~~ (1 - x^) ^ fi,y- (a:) . falls n gerade, j gerade , 



(123) 



J'„,(^) = (-l) 



H+j + l 



2 1 • 3 • 5 (w +.;■) 



2 . 4 . 6 • • • • (w - j' - 1) ^^ ~ ^"^ ®"> ^^^ ' *^"^ ** gerade, i ungerade , 



P„(a^) = (-1) 



■P„,W = (-1) 



2^ 4-6 ■■••(»-?• -1) ^^ ~ ^'^ ^ ^'y ^^^ ' *^^^^^ ** ungerade, j gerade , 



»+i-2 1,- 



2 l-3-5----(w+i-l)„ ,,2 



2.4-6- •••(»!-;) 



(l-a;=) R„,(a"), falls w ungerade, i ungerade. 



Die Producte (1 — .T*) S^^.(a;) und (1 — x^"^ "^„ji^) lassen sich natüriich in 

 Reihen entwickeln, welche nach positiven, wachsenden Potenzen von x fortschrei- 

 ten, am einfachsten durch Integration der Differentialgleichung (118) mittels Reihen. 

 Wir verzichten jedoch auf die Darstellung dieser Reihen. 



25. Zusammen mit einer Function P„j{x) bildet die entsprechende Function 

 Q„j(x) ein Fundamentaisystem. Die Ausdrücke der Functionen Q„j{x) sind von der 

 Form 



(124) 



4^ 



Q„j (r) = (1 - x^f { A fi^. (X) -f B e„j ix) } . 



Die Constanten Ä und B ergeben sich am einfachsten durch directe Differentiation 

 der Ausdrücke (63) und (64). Man erhält 



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