(129) 



(130) 



(131) 



Aud dent Gebiete de?' KugelftmcHonen. 

 Qi' + 1* (± ■ = (- 1) ' 2 rk^.-ü~T^rs - falls n gerade, j gerade . 



33 



%-' + "(±o-0 = ±(-i) 



l-3-5----(n-i-l)' 



1-3-5-- • • (n +j) 



x+J+l 



Q'„' + "(±0■^) = ±{-^) 



' 2 • 4 • 6 • • • • (w -i - 1) 



1 • 3 • 5 • ■ ■ ■ (n + j) 

 2-4-6- •■(«-,;-]) 



. falls w gerade, ? ungerade . 



, falls n ungerade, j gerade . 



" + .; + 2 



Qn + *' (± • = (- 1) ^ 2 , ^•^•^••••(*'+J) , falls M ungerade, j ungerade . 



j Qi/' (0) = , falls n +j gerade , 



\ W (0) = Qlf (± • , falls n +j ungerade . 



Qn + ^' (0) = Q<> + *» (± • j) , falls H +i gerade , 

 QJ/ + '' (0) = , falls n +j ungerade . 



Abgeleitete Kugelfunctionen zweiter Art, für j > n. 



27. Um zu den abgeleiteten Kugelfunctionen zweiter Art, für j > n, zu ge- 

 langen, stellen wir zuerst einige Betrachtungen über die Natur der abgeleiteten 

 Kugelfunctionen zweiter Art, für j < n und j > n, an. 



Es ist 



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<?„W = -P«(^)log^ + Ä„(a^). 



Q„j (X) = (1 - x^) ^ q;/' (o;) = (1 - x^) ' ^. { P„ ix) log |±[ + ß,. (X) I . 

 Für j £ n enthält Q^J^ (x) ein Glied 



während die übrigen Glieder eine rationale Function bilden, mit den Unendlich- 

 keitsstellen .1;=— 1 und .T=l. Für .t=oo wird Ç\/' (.r) Null von der Ordnung 

 w+i+1, weil Ç„(.t) Null von der Ordnung h + 1 wird (Art. 14), es seij<in 

 oder j > n. Für j > n enthält Ç^'> (ic) kein logarithrnisches Glied, da ja P(" + '' (.r) = 

 füt r =: 1, 2, 3 • • • • ist. Man erhält somit folgende Sätze: 



Falls j<.n ist, so ist Q\," {.r) eine transcendente Function, welche für .r = — 1 

 und X = 1 unendlich gross von der Form 



Alog(x+l)+ + 



x + l (a;+l)= 



• + - 



A, 



{x + iy 



N:o 4. 



