34. 

 und 



Hj. Tallqvist. 



B, B; B: 



B„ log (X - 1) + + + •••• + ^ 



x-\ (x-iy {x-\y 



hezw. wird. 



Falls j ^ n ist, so ist Q'J' (x) eine rationale Function, welche für .r = — 1 und 

 .r = 1 unendlich gross von der Ordnung j wird. 



28. Es sei jetzt j > w.' Weil ÇJ/' (pc) eine rationale, und somit eine ein- 



deutigç Function ist, so hat. man 

 (132) 



*^ (*)-£„ «„(«=>. 



K<1 



wobei die Wertlie von x in Q„{:i) nicht nur als reel, sondern allgemein als komplex 

 zu denken sind. > 



Nach den Formeln (65) und (66) ist Q^ {x) eine gerade öder eine ungerade Function, 

 je nachdem n ungerade oder gerade ist. Folglich ist ÇJ/* {x) eine gerade oder ungerade 

 Function, je nachdem n + j ungerade oder gerade ist, wie schon im Art. 26 für 

 .;■ <, n gefunden wurde. Weil aber §;/> {x) jetzt eine rationale Function ist, so muss 

 sie sich mit Hülfe der einen der Reihen S,,^. {x) und ®„^. {x) ausdrücken lassen, und 

 zwar mit derjenigen Reihe, welche eine unendliche Anzahl von Gliedern enthält, 

 d. h. mittels der Reihe ÎÏ„.(.-ï) für eine ungerades n-\-j und mittels der Reihe 

 <S^^. (x) für ein gerades n-\-j. 



Für die vollständige Bestimmung von Q^J^{x) und Q,^j{x) brauchen wir nur 

 noch die Werthe ^^/'(O) und ÇJ/^^KO)- Dieselben ergeben sich durch j-mahge 

 Differentiation des betreffenden Gliedes von Q„{x) ((65) und (66)), und zwar erhält 

 man nach einigen einfachen Transformationen 



(133) 



(134) 



(vorausgesetzt j > n) 



Q„ (0) = , falls n +j gerade . 



%-"(0) = 2.i! 



,,(i+l)(j + 3)----(i+w-l) 



j{j-'2)----{j-n) 



falls n gerade, j ungerade . 



<?"* W = 2 vt '-^'(^-!.\^"(^-!.^3;; -7J-^',^!^)^^ , falls n ungerade, j gerade : 



q^j + 1' (0) = , falls n +j ungerade . 



Ç0- + 1) (0) = 2 -ü ^jl±^^^t^i:di^^ , falls n gerade, J gerade . 



7(i-2)- •••(,/-« +.1) 



, falls M ungerade, ./ ungerade . 



T. XWI. 



