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Atis dem Gebiete der Kuijelfunclwneii. 35 



Es folgt nunmehr 



(vorausgesetzt j > n) 



Q^ ix) = 2 -i ! (1 - x^) ^ ^M^^ljl±^L^l^^l±^^ @^. (:,) , falls n gerade, j gerade . 

 hj . . 



U . . 



q,^ (.«) = 2 -i ! (1 - a;^) ^ ^•^("^■^^^^("^■l^aj;;!'^^"^.!:, ^-^ Kj k-O . falls « ungerade, j gerade . 



Q„j (X) = 2-j\(l-x')^ jQ-!.^2)^.%"l'^+y ®n;- (•*') ' '»Us n ungerade, j ungerade . 



Abgeleitete Kugelfunctionen erster Art und zweiter Classe. 



29. Für j<n bilden die abgeleitete Kugelfunction erster Art und erster 

 Classe P„j(x) und die abgeleitete Kugelfunction zweiter Art Ç„ix) ein Fundanien- 

 talsystem partikulärer Integrale der Differentialgleichung (118) der abgeleiteten 

 Kugelfunctionen. 



-; -j 



Für j>w bilden immer (1 — x^)^ ^„j (*') und (l — x^)^ ®„;(-'") ein Fundamen- 

 talsystem partikulärer Integrale von (118), von denen das eine sich nur durch eine 

 Constante von Q„jÇv) unterscheidet. Statt des anderen mit Q„ix) nicht equivalen- 

 ten Integrales, gebraucht man jedoch mit F. Neümann die s. g. Kugelfunctionen er- 

 ster Art und zweiter Classe, welche in zwei Abtheilungen S^^.(x) und T^(x) zer- 



fallen, und natürlich lineare Verbindungen von (1 — x"^) S .{x) und (1 — x")^ ®„(a;) 

 sind. Wir setzen somit 



( S„j (x) = (1 - x"-) ^ { A fi„,- (X) + B @„j (X)] . 

 (136) Ij, , ^J>»^ 



( T„j (x) = (1 - X') 2 I C ^„j {X) + D S„j (X) } ■ 



Die Constanten A, B, C und D werden im Art. 33 näher bestimmt werden. 



30. Um zu den Functionen S„j (x) und T^. (x) am einfachsten zu gelangen, 

 betrachtet man mit C. Neumann *) die beiden Hülfsfunctionen 



lS„{,x) = -P„{x)\ogix-y), 

 ^r„(x) = -P„(a:)log(x + l). 



*) Ueber die Kugelfunctionen P„ und §„ u. s. w Leipzig. 1886, p. 408. 

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