36 H.). TAi-i.yvisT. 



Nach der Formel (45) ist dann 

 (138) Q» W = S„ (X) - 2'„ (X) + R„ (x) , 



und hieraus ergiebt sich durch j-fache Differentiation, für j > n, 

 (136) Q(j\x) = Sl,'Ux)-Tl,^'(x). 



Setzt man ferner 



(140) 



S„j(x) = (l-x'')^^S'J^{x), 

 T„j{x)-^il-x')^ Tj,->^(x), 



wozu man berechtigt ist, wenn nachgewiesen werden Ivann, dass (1 — .t^) S*,/' (x) 



und (1 — x'O î^i-" (•«) partikuläre Integrale von (118) sind — der Beweis hierfür 

 wird im Art. 31 geleistet werden — , so erhält man 



(141) Q^ix)=S„j(x)-T„j{x). 



Es ist folglich die Differenz der Functionen S,,^. (a.) und 1\^. (x) ein Integral von 

 (118), und es genügt nachzuweisen, dass S^j{x) ein Integral von (118) ist. 

 Es verdient noch bemerkt zu werden, dass die Darstellung 



S„,. ix) = - (1 - x'-)^ -f- i P„ (X) log {X -1)1 



(142) 



»j 



da;-' 

 1. ' (j>n) 



T„j (x) = - (] - X') ^ -^ 1 P„ (X) log (.e + 1) I 



■' dx' 



Bedeutung für die ganze r-Ebene hat, während die Darstellung (136) nur für das 

 Innere des Einheitskreises gilt. 



Aus (142) erhellt, dass die Functionen SJ/' (x) und VJ^ (x) rationale Functio- 

 nen sind, von denen die erstere nur für x = 1 unendlich gross wird, und zwar von 

 der Ordnung j, und die letztere nur für .x = — 1 unendlich gross wird, ebenfalls 

 von der Ordnung j. 



S^.(x) wird für ;c:=l unendlich gros^s von der Ordnung ^j und für x = — 1 

 Null von der Ordnung ^j. 



T^. {x) wird für x^ — 1 unendlich gross von der Ordnung ^j und für x^\ 

 Null, ebenfalls von der Ordnung ^j. 



Für die rationale Function S^p (.r) ergiebt sich durch Ausführung der Differen- 

 rentiation in der ersten Formel (142) der Ausdruck 



Ï. XXVI. 



