Aus dem Gebiete der KiKjelfunctionen. 37 



(U3) y<>' (C-) - (- XV-'^—l^ ^n"'(^) _ , J-n + l J} Pn~ '(^) 



.i' PAx) 

 • ••• + (-])'- " . . 

 J (x-l)-' 



Einen ähnlich gebildeten Ausdruck findet man für T*-" (.c). Man schliesst hieraus : 

 Für X ~ X werden Sy (o;) und T^' (a;) Null von der Ordnung j — n. Gleich- 

 zeitig werden S^- (x) und T^. (x) unendlich gross von der Ordnung n. 



31. Es soll jetzt der Beweis geführt werden, dass S,,^ (,i-) ein partikuläres In- 

 tegral der Gl. (1 18) ist. Wir folgen hierbei hauptsächlich Herrn C. Neumann *). 

 Man hat 



Indem man diese Gleichungen mit den beigesetzten Factoren multiplicirt, sie 

 addirt, und zugleich von der Differentialgleichung (1), welcher P„ (.r) genügt, Ge- 

 brauch macht, findet man 



(144) (l-x^)S'^(x)-2xS'„(x) + n{n + l)S„{x)=^P„(x) + 2{x + 1)P'^(x). 



Differentiirt man die Gl. (144) j Mal, so erhält man 



(145) (1 - «») S^^' + 2) (x) - 2 0'+ 1) X S^-'+ '' (X) + (n -j) (n +j+ 1 ) S^' (x) = 



= (2j + 1)P<J'> (x) + 2 (X + 1) P(> + 1' (X) . 



Es sei j~>n; alsdann ist 

 (145) (l-x')Si'+2>(x)-2(> + l)xS;-' + i'(x) + («-i)(«+y-fl)Sy'(x) = 0, 



d. h. SlJ^ix) genügt der Differentialgleichung (116) und folghch 



1} 

 S„.(a;) = (l-a;2)' sip{x) 



der Differentialgleichung (118), was zu beweisen war. 



32. In diesem Art. soll eine Relation zwischen den Functionen S„^ [x) und T ^. {x) 

 abgeleitet werden, von welcher im Art. 33 Gebrauch gemacht wird. 



, *) Ueber die Kugelfnnctionen P„ und Q,, »• s. w. \>. 419. 



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