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Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. ß9 



Rechnung nur für den Fall durch, dass n gerade ist, da die Rechnung für ein un- 

 gerades n nach genau denselben Principen erfolgt. 



Aus der erster Gleichung (137) ergiebt sich für | a; ^ < 1 die folgende Ént- 

 wickelung 

 ( 153 1 S» W = -Pn (3=) log (1 - X) T m P„ (x) = 



= (a„ + tti x" + a, X* + ■ • • •) (a; + y x^ + y x' + • ■ ■ •) =F ni P„ (x) = 

 = /-(l)x+/-(2)x2 + ---- + /-0')x>+/-0'+l)x^+l + ....T^»P„(x). 



Differentiirt man hier j Mal, wobei j > m ist, so bekommt man 



j")+(y+l)!/"0' + l)x + ^0" + 2)!/-0" + 



=i!/'(i)fi,.>(x) + (y + l)!/-(i+l)S„y(x), : ,» ] 



und es ist somit 



(154) i ^=y !/■(/). 



^ ^ lß=(y+i)!/-(y+i). 



I 

 Ferner folgt aus den Gleichungen (139), (150) und (151), indem man beachtet,. 



dass (—1)" jetzt gleich 1 ist, | '^'^' 



(155)' (?(,-'''(x) = {l-(-l)>}^R„;(x) + {l+(-l)-'|ße,„(..). ^ 



Differentiirt man hier ein Mal, so erhält man 

 (156) Qi-''+ 1* (x) = 1 1 - (- ly J A &'„j (X) + 1 1 + (- D' I B ®;,/x) , ■ 



folglich, indem a; = in den Gl. (155) und (156) genommen wird, ; 



i-(-i)>}^=q:,-''(0), _ 



/ 1 _c_ iV l Å ^ n'-J) 

 (lö7) 



i 



^l +{-!)>) B =Qi^ + 'HO). 



Um weiter zu gehen, muss ein Unterschied zwischen den Fällen gemacht 

 werden, in welchen j gerade und ungerade ist. Es sei j ungerade. Die erste 

 Gleichung (157) bestimmt alsdann A und zwar ergiebt sich mit Anwendung der 

 mittleren Formel des Systèmes (183) 



(158 a) ^^y, 0- + l)0- + 3)-..(j+n- J) K 



Die zweite Gleichung (157) wird illusorisch. Dagegen folgt nach (154) der Werth 

 von B aus dem Werthe (158 a) von A, indem j gegen i + 1 vertauscht wird. Es ist 



n^ h^ R - (/+ 1) 1 0" + 2)0" + 4)----0'+*' ) - ,• , Ji+l) U_±^tiL- U+n) 



(158b) ^-0 + l)l(y+i)(y_i)....(y_„ + i)-.;!(y_l^(y_33....(y_„ + l)- 



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