Alis dem Gebiete der Kugelfundionen. 41 



Man besitzt hierin ein Mittel, aus einem bekannten partikulären Integrale von 

 (118) neue partikuläre Integrale abzuleiten, bezw. neue Formen der Reihenentwicke- 

 lungen für die Kugelfunctionen erster und zweiter Art zu finden. Man beachte 

 übrigens das im Art. 15 über die Transformation einer Reihe mittels der Substitu- 

 tion (w I — (w + 1)) Gesagte. 



Durch die Operation II gehen die Reihen ^„j{x) und ®„^(aî) über in: 



(163) 



K _-(a-) -1 I ^•^' + ^>^'^"~^-'^ a;^ I 0' + w)(i + w-2)0--w-l)(y-n-3) ^. ^ 



Es sind immer 





partikuläre Integrale der Differentialgleichung (118), welche ein Fundamentalsystem 

 bilden, und zwar ist 



(164) 





(1 - X'} ^ s„.(x) =(j-^-^)' s,, _,■ (xy 



Wir verzichten darauf, alle diejenigen Formen anzuführen, welche mittels der 

 Gleichungen (164) aus den Systemen (123) für P„jix), (125) für Q„-ix) unàj^n, 

 (135) für Q^-ix) und j>>z, und (159), (160) für S„.ix) und T^jix) bezw., hervor- 

 gehen. Dieselben ergeben sich unmittelbar. 



Die Operation III verändert nicht die Reihen ^„j{x) und ®„j(x), wie auch 

 daraus hervorgeht, dass diese Operation nicht die Differentialgleichung (116) ver- 

 ändert. Es ist somit 



]®-„-l,j{x) = &„j(x). 



Ferner folgt 



/S_„_i,_,WeeS„,_,(x), 



|s_„_i,_,(x) = ©„, _,.(x). 



Fundamentalsystem partikulärer Integrale der Differentialgleichung der 

 abgeleiteten Kugelfunctionen, für die Umgebung von a; ^ co . 



36. Ordnet man die endlichen Reihen des Systems (123) nach abnebm^enden 

 Potenzen von x, so bekommt man folgenden Ausdruck: 

 N:o 4. 6 



