42 Hj. Tallqvist. 



(vorausgesetzt j ^ n). 



(166) P . (0.) = l-3-5----(2w-l) _ -G'^ / ,r « -> _ (>»-/) (^^-i zl) ^" -'-\ 



(w-i)! ' ' \' 2(2w-l) 



v- -J") (w -y - 1) (n -i - 2) (>i - y - 3) j 



(w -j ) { n -j -\){n-j- 2) {n -j - 3) « - > - * _ I 

 2-4-(2w-l)(2re-3) ■■■/■ 



Etwas einfacher folgt dieselbe Formel bei j/'-maliger Differentiation des Aus- 

 druckes (27) für P„(x). 



Aus (165) ergiebt sich 



J'^P'^'Cx) l-3-5----(2w-]) 

 (166) i n y ) > 



a'""-' (m -y)! 



und (y^w) 



(167) rfi^>=(-3)'^"^-^-^--^^"— L>. 



/ as" (w-y)! 



Wendet man auf (165) die Operation II, Art. 53 an, so erhält man, indem man 

 zugleich den constanten Factor so bestimmt, dass der Gleichung (167) genügt wird, 



(y ^ n). 



1.-, 



i i-3-5----(2w-i) / 1 \2^/»+i («+y)(«+y-i) «+>-2 



(168) -P-.> (^^ = (- 1 ) (^r^yyi ( r^i,-. j f 2(2»i-i) — ^ + 



, (w +y) (w +y - 1) (w +y - 2) (w +y - s) « + ^ - * _ i 



"^ 2-4-(2w-])(Z?i-3) r 



Wendet man dagegen die Operation III an, so geht 'P„-(x) in Q„,(a;) über, ab- 

 gesehen von der multiplikativen Constante. Diese bestimmt sich durch j-malige 

 Differentiation des Ausdruckes (77). Man findet 



rifioi (j) ( iï'2 ^'^+'^"^' (1 ;^^)^^(:r- "-.'-' I ('^+i+')(''+-^ " + "):,~''"^'~'l 



(169) y„,(J")-( 1) '^i.3.5....(2„ + ])^^ ^^ f + 2(2w + 3) "" + 



(w-fy-n)(w+y-f2)(w-fy+3)(w-fy-f4) _ „ - ,■ - & i 



"^ 2-4(2w + 3)(2w + 5) /' 



und zwar gilt dieser Ausdruck nicht nur fürj^M, sondern auch für j > ?;. 



Aus (169) folgt die Art des Nullwerdens von Ql'(x) und Q,y(aî), für a; = cx>. 



< 170) 1 :r'' + '■ + 1 (?;/' (.T) = (- 1)^' 2 1.3.5"^-^?.' 



OJ 



(2w+I)' 



^"1) / "" =^" " ' ^.- (-) - (- ^)^' 2 ..a-i^-ti^n + i) • 



T. XXVI. 



