Aus dem Gebiete der Kugelfundionen. 43 



Mittels der Operation II geht folgender Aundruck aus (169) hervor, indem 

 man zugleich die Constante so bestimmt, dass der Formel (171) genügt wird, 



(172) 



%W-^l.3.à----(,2n+l)[r=^) X 2(2« + 3) ^ + 



(j-n-i)(j-n-2 ) (j-n-3)(j-n-i) J-n-5 i 



2-4.(2n + 3)(2w + 5) * +----J- 



Für j>n ist die Reihe in (172) eine endliche Reihe. In der That ist dann 

 Qj> (.c) eine rationale Function (Art. 27). 



Die in diesem Art. gegebenen Ausdrücke von P„^. (.?;) und Ç^j (,c) bilden zusam- 

 men ein Fundamentalsystem partikulärer Integrale der Differentialgleichung (118), 

 mit Bedeutung wenigstens ausserhalb des Einheitskreises der x-Ebene. Die Aus- 

 drücke (165) und (168) für P„^ (.r) und (172) für Q„j{x), falls j>n, haben eine Be- 

 deutung in der ganzen .r-Ebene. 



37. Es erübrigt noch für die Umgebung von x = co geltende Ausdrücke für 

 S^j{x} und T^j{x) abzuleiten. Zu diesem Zwecke verfährt man in hauptsächlicher 

 Uebereinstimmung mit Herrn C. Neumann *) folgenderweise: 



Man berechnet zuerst S^'* + i'(x-) und leitet nachher durch j — w — 1 malige 

 Differentiation S^-''^ (x) ab. Nach Art. 30 wird S^" + i'(.t) für :c=a) Null von der 

 ersten Ordnung. Somit kann gesetzt werden 



(173) S:» + ''(x) = |+||+^-f-.- 



oder 



(174) ,r-^^.).(^+g^....)^(«i+l^....). 



Nach (148) ist, für j = n + 1 , 



Somit folgt aus (174) 



(175) ^"^^-)-6^1l---)-& + S + --)- 



und nach der Formel 



(139) QU' +''^ (x) = si" +J> ix) - r(" +^'> (u;) , 



(1T6) 9»""'"(-*) = 2& + ^+ ••••)• 



*; a. a. 0. p. 422. 

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