Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 45 



(vorausgesetzt j > n). 



(182) s„j{x) = {- ly- " [l • 3 • 5 . . ■ . (2 w - 1) 



2- 



' ja;_j + „ _ (i-w)0'-n + l) j + „ _ 2 . 



0-_n-l)!(l-a;"-) f-^^"- ^-^ 2(2;_,) ^ ^" 



0--w)0-M + l)0-w + 2)0-n + 3) , + „_4 1 



+ 2.4(2w-l)(2«-3) j 



+ ( '> 1.3'.5-.T7(2« + 1)^' ''^ 1^ + 2(2k + 3) 



(n+j + l)(w+i + 2 (w+i + 3)(n+i + 4) ^j_.._5 .. l 

 "^ 2-4-(2n+3)(2» + 5) j' 



Der zweite Theil von S„. (.t) muss nach (176) einfach gleich y Ç„^. (x) sein, wie auch 

 die Formel (169) zeigt. 



Aus (182) leitet man mittels der Formel (148) ab: 



(183) T„j{x) = {-\)' 



1 -S-S (2m-1) 



0-«-l)l(.-.=)-^'{x— ^/^1^^^-).— + ..} + 



,/ ,v,-+i (w+i)! ., ...x ^ L- j -n-\ An+j+\) {n+j + 2) ^_j 3,....l 



Aus (182) und (183) ergeben sich die Werthe: 

 (184) / a;>- " sy» (x) = 1 x-'- " r<-'* (x) = (- 1)-' " "fl • 3 • 5 • • • ■ (2 m - 1)1 (j-n -1)1 



^S„,(:c)= I -„2'„^.(a;) = (-l)' |l -3 • 5 ■ •• • (2 h- 1)J (> - « - 1)! 



Wir machen noch auf diejenigen Ausdrücke aufmerksam, welche aus (182) und 

 (183) mittels der Operation 11, Art. 35, hervorgehen. 



Fundamentalsysteme partikulärer Integrale der Differentialgleichung der ab- 

 geleiteten Kugelfunctionen in den Umgebungen von a;:=l und .x = — 1. 



38. Differentiirt man die Gleichung (81) j Mal und multiplicirt nachher mit 



(vorausgesetzt j ^ n). 



(1 — oiF) , so findet man 



(186) p (^s (w - J + 1) (w -i + 2) • ■ • • (w +j) 2^1 , (n-'j){n+j+\) (x-\\ 



K.j^^)- 2-4.b----2j ••' ^^ V'^ l(j + l) l^2"j + 



_^ (n -^) (w -y - 1) (w +i + 1) (n +j + 2) /j^-lV ^ _ . . ( 



l-2(j + l)(y + 2) V 2 y ^ / 



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