50 



Hj. Tallqvist. 



(204) 



(205) 



U§n). 



,j - « - 1 , 





(X + \y Ql'> (x) = (- 1)^ - " - ' (/ - 1) ! 



(l-»0^ Q,.j(x) = 2^ (i-1)!, 



42. Es erübrigt noch die Functionen S^j(x) und î^„j(.'') in Reilien nach Poten- 

 zen von X — 1 und x-\- 1 7ai entwickeln. Man kommt hier einfach dadurch zum 

 Ziele, dass man unter den von P„jix) gefundenen ReihendarsteUungen (Art. 38) 

 die passenden auswählt, j grösser als n voraussetzt, und nöthigenfalls sich der 

 Operationen I, II oder III im Art. 35 bedient. 



Weil Sy (x) und T'/' (x) rationale Functionen sind, welche von der Ordnung 

 j — n Null werden, wenn x unendhch gross wird (vergl. 184), und von denen 

 S'f{x) für x= 1 unendlich gross von der Ordnung j wird, T>/) (x) für x = ~l un- 

 endlich gross von der Ordnung j wird, müssen Entwickelungen von folgender Form 

 bestehen : 



(206) 



f 



Si'Hx) = A 



{ (a- -!)-•'■ + " + a,(x-l)--' + "-> + a,(x-])-^ + "-2 + .... + «„(x- !)-■'], 



I T^'' (er) = B{(a- + ])-■'•+ '' + fe,(.r + !)-•'• + "-'-fi-.(* + l)--' + "-2+.... + ^^_(^+l)-.»j^ 



und zwar ist hierbei nach (184) 



C207) 



= {-\y-"{j-n-\)\ 



A=B = (- 1)'-" [] ■ 3 • 5 • ■ • • (2 H - 1)] U-n - D ! 



(n + l){n + 2) ■■■■2n 



2" 



sowie nach (204) und (139) 



(208) 



Aa„^(-iy(j-i)\ 



In der That findet man unmittelbar aus der Formel (188) für P„^(x), wenn 

 man jetzt j grösser als n voraussetzt und den constanten Factor mittels (207) 

 bestimmt, 



T. XXVI. 



