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Hj. Tallqvist. 



Z-weite Abtheilung. 

 Formeln für einige Randwerthaufgaben der Potentialtheorie. 



Aus der Theorie der Reihenentwiekelung naoh Kugelf unction en. 



45. Wegen des Folgenden mögen einige bekannte Formeln zusammengestellt 

 werden, welche sich auf Reihenentwickelungen nach Kugelfunctionen beziehen. 



Die Entfernungen zweier Punkte A und B von einem dritten 

 Punkte C seien r und l bezw. (Fig. 1), die gegenseitige Entfernung 

 der Punkte Ä und B sei A, der Winkel zwischen r und / sei y- Als- 

 dann hat man für die reciproke Entfernung zwischen A und B 



Fig. 1. 



(1) 



^ i/i' — 2lr cos y 



+ r' 



wenn coaY = x gesetzt wird, die bekannten Entwickelungen nach Kugelfunctionen 



(2) 



lli 



\/P-2lrx + r^ ^ \ 



+ P,(a;)y + P.(a;)^ + - 



r" 1 



falls l > r ist, und 



^ = 1 i 1 + P, (ic) 



7 n 1" \ 



r 



falls ?<r ist. 



In einfachem Zusammenhange mit den Formeln (2) und (3) stehen ein Paar 

 Formeln, welche für die Hypothese i > r entwickelt werden sollen. Ditferentiirt 

 man die Reihe (2) in Bezug auf r, so ergiebt sich 



(4) 



Ix — r 



.n — 1 



l 



lJp.(«)+2Pax)j + ----+wp„(z)^i + ---- 



Multiplicirt man links in (2) im Zähler und Nenner mit P — 2lrx + r^ und 

 addirt die entstandene Gleichung zu der mit 2 r multiplicirten Gleichung (4), so er- 

 hält man 



T. XXVI. 



