P - r' 



Aus dem Gebiete der Kxigelfunctionen. 57 



oder 



(6)^ = ^ ^ = ^^^(l + 3P.(x)|+5P,(»-)^ + ----+(2« + l)P„(x)?^ -....}. 



Es ist bekanntlich 



(6) |-P„W|<1. 



wenn -i^x^i. 



Hieraus folgt, dass die Reihen (2) und (5) absolut konvergent sind, wenn l > r ist. 

 46. Eine Function F(x), deren Werthe in dem Intervalle — l^x^l arbi- 

 trär, und zwar so vorgeschrieben sind, dass die Function endlich bleibt, dass sie 

 entweder stetig veränderlich ist oder in einzelnen Punkten, welche nicht unend- 

 lich viele sein dürfen, s. g. endliche Diskontinuitäten aufzeigt, dass sie ferner inner- 

 halb des Intervalles nicht unendlich viele Maxima oder Minima besitzt, lässt sich 

 bekanntlich mittels einer nach Kugelfunctionen fortschreitenden Reihe 



(?) P(a;) = ^„P„(a;)-f.1,P,(a:) + -----fyl„P„(x) + ----, 



darstellen, worin die Coefficienten A folgende Werthe haben 



(8) A„ = ^''^j'_ ^ Fix) P„ ix) dx . 



Somit ist, wenn i als Integrationsvariable gebraucht wird, 



00 



(9) F{x) = Y^^^+'p„ix)r P(|)P„(|)d^ 



« = J — 1 



Es giebt nur eine einzige Darstellung von F{:i^ von der Form (7). 

 Man hat, sobald ?// und n grösser als Null sind, 



(10) 1 P„. (r) P„ (x) dx = 0, falls m>n. 



(11) r Pl{x)dx 



2 w + ] 



-/ — 1 



Ferner ist 



(12) 



N:o 4. 



/>■ 



(x) dx = , falls n gerade und grosser als Null . 



>i— 1 



/ P„(:r)(/;- 



'^"^"^^ ¥ T -4-6 •■■•(» -H) ' falls H ungerade . 



