58 Hj. Tallqvist. 



(13) 



I. 



/1 m-r n-t-1 

 2 1 1 • 3 • 5 • • ■ ■ (»n - 1) 1-3-5----W 

 ^P,„{x)F,,{x)(lx~{ 1) (^_„)(^ + „+]) 2-4.6----m 2 • 4- 6 • • • • (w - 1) ' 



1 



P,„ (x) P„ (x) dx = 0, falls m + w gerade und m^n. 







»i+n + l 



falls w gerade, n ungerade. 



47. Wir betrachten eine Potentialfunction F, welche cirkuläre Symmetrie in 

 Bezug auf eine gegebene Achse, die a;-Ach&e, zeigt. Hiermit versteht man, dass in allen 

 Punkten eines jeden Kreises, dessen Mittelpunkt auf der .r-Achse liegt und dessen 

 Ebene senkrecht auf die .'t:-Achse steht, V denselben Werth hat. Die Lage eines der 

 genannten Kreise werde bestimmt durch die Entfernung r seiner Punkte von einem 

 festen Punkte C der .x'-Achse, und durch den Winkel 6, welchen die Erzeugenden des 

 Kegels, welcher G zur Spitze hat und den Kreis enthält, mit der positiven .r-Achse 

 bilden. Mit diesen Bestimmungen ist also V eine Function von /■ und 6. 



Führt man in der Potentialgleichung 



A V = 

 die Coordinaten r und e ein, so bekommt man bekanntlich die Gl. 



Zu dieser Gleichung werden Integrale von der Form 



(15) V = RP 



gebildet, wobei R eine Function nur von r, P eine Function nur von 6 ist, und 

 zwar muss hierbei K der Diiferentialgleichung 



+ 2r^~cR = 0, 

 dr 



[sinef)+cP=0 



genügen, wobei c eine beliebige Constante ist. 



Die Gleichung (16) besitzt die partikulären Integrale 



r"' und ?■"% 



wenn Vi und v., die Wurzeln der Gl. 



(18) n (n + 1) = c 



T. XXVI, 



