Aus dem Gebiete der Kugclfhnclionen. 59 



sind. Wir beschränken uns auf den für das Folgende genügenden Fall, in welchem 

 »?i und «2 positive oder negative ganze Zahlen sind, d. h. wir nehmen die Constante 

 c von der Form (18), mit n eine positive ganze Zahl verstanden. Alsdann sind 



(18) ,.« i.nci ,--(" + !) 



partikuläre Integrale von (16); und die Gl. (17) nimmt die Form an: 



(19) ^;^fsine^]+«(n + l)7^ = 0. 



sm dö V d6J ^ ' 



Setzt man hier cos0 = .t', so erhält man 



d. h. die Differentialgleichung (2), Abth. I, der Kugelfunctionen. Die Diff.-Gl. (19) 

 hat folglich die partikulären Integrale 



(20) P„(sine) und y„(äin6i), 



und die Diff.-Gl. (14) die partikulären Integrale 



I )■" P„ (sin e) ; ,• - " - ^ P„ (sine); 

 (21) 



[r"Ç„(sin6>); >-"-> Ç„ (sin 0) ; 



von welchen jedoch den in der ersten Reihe stehenden Integralen eine wesentiicli 

 grössere Bedeutung zukommt, als den in der zweiten Reihe stehenden Integialen. 

 Multiplicirt man die Integrale (21) mit beliebigen Constanten, so bekommt 

 man wieder Integrale der linearen Gleichung (14), ebenso, wenn man die Summen 

 solcher ProdLicte bildet. Die Summen können auch unendlich viele Glieder enthal- 

 ten, vorausgesetzt, dass sie convergent sind. Eine besondere Bedeutung für uns 

 haben die partikulären Integrale von der Form 



(22) V=A^P„ (cos 0) + A, r P, (cos 0) + A. r- P„ (cos 0) -f ■ ■ • • -f yl„ r" P„ (cos 0) + • • • • 



+ J5„ y P„ (cos e) + B,~ P, (cos 0) + ß, ^ P, (cos 0) + ■ • • • P„ -;^ P„ (cos 0) -f • • • • . 



Durch angemessene Bestimmung der Constanten A und B in (22) erhält man 

 die Lösung einer grossen Anzahl von Aufgaben. 



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