Aus dem Gebiete der Kuçfelfunctioiipn. 63 



Aus (32) und (29) erhält man 



\7lR'\ I 



(34) lim i-V„ = 2 7iR'-\ f(x)dx^M, 



(r = oo) 



welche Gleichung eine bekannte Eigenschaft der Potentialfunction aussagt. 



Die Reihen in (28) und (88) convergiren, die erstere in dem inneren, die letztere 

 in dem äusseren Räume, d. h. für r<ß und ry-R bezw. Weil aber die Poten- 

 tialfunction in der Kugelfläche selbst endlich und stetig bleibt, schhesst man, dass 

 diese Reihen auch für r:=R convergent sind, und zwar ergeben sie dann beide den 

 Werth 

 (36) I'o = 4 JT Ä I a„ + y ffl, P, (cos «) + -^ «, P, (cos «) + •••• + g^^^ «„ P„ (cos «)+... A = 



= '^^R7 orr-n«,. ^«(cosck). 



'Zj2m + i"'' 



Die drei Randwerthaufgaben, für den inneren und für den äusseren 

 Kugelraum, uebst Anwendungen. 



50. Es werde jetzt verlangt, die Differentialgleichung 



A F = o 



für das Innere einer Kugel vom Radius R zu integriren, wenn die Werthe von F 

 in der Kugelfläche selbst vorgeschrieben sind, und zwar so, dass diese Werthe 

 cirkuläre Symmetrie zeigen, und dass V sich in der ganzen Fläche stetig verändert. 

 Die gesuchte Function V soll innerhalb der Kugel stetig sein. 



Die Aufgabe wird eine Randwerthaufgabe erster Art genannt, und ist 

 bekanntlich längst in noch allgemeinerer Gestalt (indem keine cirkuläre Symmetrie 

 besteht) und in verschiedenen Formen gelöst worden. Die Lösung in der Form ei- 

 ner Entwickekmg nach Kugelfunctionen ergiebt sich einfach aus den Formeln in 

 den Art. 48 und 49. 



Es sei Fq die in der Kugelfläche gegebene Function, welche als ein Potential 

 zu betrachten ist, in folgende Form gebracht worden, was laut den gemachten An- 

 nahmen immer möglich ist, 



(36) V, = A, + A,PAx) + Å^P..{x) + ---- + A„P„{x)^...-, 



worin o; = cos « gesetzt worden ist. Vergleicht man diesen Ausdruck mit (35), so 

 ergiebt sich nach (27) für die Dichte derjenigen Flächenbelegung, welche das Poten- 

 tial (86) in der Kugelfläche giebt, 



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