Aus dem Gebiete der Kugelfunctionen. 



(41) F„ = ^|A+^-P.(cos0) + 4,^K(cose)+-.-- + ^;^P„(cosÖ)-f ••••). 



)■ I r r' r" j 



CXi 



»1=0 



Mit Anwendung der Formel (39) ergiebt sich nocli 



(42) F„ = > -^- ^VxT P« (cos e) I F„ P„ (*) dx . 



65 



n ^ 



Die Formeln (41) und (42) enthalten jede die Lösung der gestellten äusseren 

 Randwerthaufgabe erster Art. 



Nach (34) ist die Gesammtmasse der Flächenbelegung das mit r multiplicirte 

 erste Glied in (41), d. h. RA^t, wie im Art. 50. 



52. Bevor wir zu den Randwerthaufgaben der zweiten und dritten Art 

 weiter gehen, mögen einige Anwendungen der Formeln in den Art. 50 und 51 ge- 

 macht werden, welche zu bekannten Resultaten führen. Es 

 sei ein auf der Kugelachse, im inneren Räume gelegener 

 Punkt (Fig. 3), L ein i)eliobiger Punkt auf der Kugelfläche, 

 Å. die Entfernung zwischen und L. Feiner werde ange- 

 nommen, dass die Potentialfunction F« in der Kugelfläche 



durch den Ausdruck 



M 



(43) 



V,- 



gegeben sei, so liegt die innere Randwerthaufgabe erster 

 Art zur Lösung vor. 



Für Vq besteht nach der Formel (2) (worin nach Fig. 3 

 zu nehmen ist l = R, r = «, :t; = cosa) die Entwickelung 



Fig. 3. 



(44). 



,,.^jl + |_P.(.) + |p.(.),.... + -^^,<.) + ...| 



Diese Entwickelung soll in dem beti-achteten Falle mit (36) identisch sein. Nun- 

 mehr ergiebt sich mittels der Formel (38) das Poteutial innerhalb der Kugelfläche 



(45) 



\R R' 



P, (COS 0) + «^P,(cosO) -f. ■•• + ^^P„ (cos «)+•••}. 



Die Dichte der Flächenbelegung, welche innerhalb der Kugel das Potential (45) 

 erzeugt, ist nach (37) 

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