Aus dem Gebiete der Kugelfundionen. 81 



(109) X=EP,^{,œ) + FQ„j{:c). 



Als Integrale der aus (102) mittels der Substitution rr = cos entstandenen 

 Gleichung 



kommen besonders in Betracht Ausdrücke von den Formen 



IV = r" (A cos jq> + B sin j<p) P,,j (x) , 

 V = ^qrr (^ c°^ JV + -S sin j<f>) P„j (oc) ■ 



Der abgeleiteten Kugelfunction erster Art und erster Classe P,^. (x) schreibt 

 man den w:ten Grad und die j:te Ordnung /ai. 



Die aus (111), für r = constant, hervorgehenden Producta 



(112) cos jcp P„j{x) und sin i<p P„^- (x) 



genügen der partiellen Differentialgleichung 



und zwar für alle "Werthe ji= 1, 2 n. Somit genügt auch der Ausdruck 



n 



(114) Y„ {X, <p) = Ao P„ (a^) + ^ I Aj cos j(p P„j (x) + Bj sin jcp P„j (.r) j 



der Gl. (113). Bekanntlich nennt man mit Heine die von zwei "Veränderlichen ab- 

 hängige Function T^ (.c, y) eine allgemeine Kugelfunction w:ten Grades. 

 Die Producte 



(115) r"7„(x,(p); »-(« + " F„(rr,q,) 



befriedigen die Potentialgleichung (110). Als ein allgemeineres Integral dieser Gleic- 

 hung hat man die unendliche Reihe 



(116) To{x,<p) + r r,(a-,qp)+ •••• + ?•" r„(x,<p) + -.- 



+ - r„ (x, ç>) + l-Y,{x,<p) + ---- + -^ r„ (rr, qp) + ■ ■ . • = 



00 n 



= ^ '■" j -^0, „ Pn (COS e) + 2] (^> ''"S •^■?' + ^> ^'" Jf) P'.J ^'^"^ ^) } + 

 »=0 j=l 



OD n 



+ 2] ^ir { ^0, „ Pn ^cos 0) -1- 2] (4.. cosiqp + b;„ sin ,;^) P„^. (cos 0)} , 



insofern sie convergent ist. 



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