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Hj. Tai,i.qvirt. 



Durch angemessene Bestimmung der Constanten in (116) erhält man die Lö- 

 sung einer grossen Anzahl von Aufgaben. 



64. Eine Function von zwei Veränderhchen (p und .t, -wobei 0<(p <: 2 sr, 

 — 1 < .x = cos ^ 1 ist, liaim als Function des Ortes in einer Kugelfläche auf- 

 gefasst werden. Wenn die Functionswerthe F(x, y) arbiträr gegeben sind, und 

 zwar so, dass F{x,(f) in der Kugelfläche stetig bleibt, somit speciell F{x^2 3t)^ 

 F{x,0) ist, und F(l,(p) sowie F(—l,<f) von <f unabhängig sind, so kann die Func- 

 tion als eine unendliche Summe von allgemeinen Kugelfunctionen dargestellt wer- 

 den. Hinsichtlich allgemeinere Bedingungen, unter welchen eine solche Darstellung 

 noch möglich ist, verweisen wir auf C. Neumann's Arbeit: Uèber die nach Kreis-, 

 Kugel- und Cylinderfunctionen fortschreitenden Entwickelungen. Leipzig 1881. 



Man hat bekanntlich 



(117) 



ou " 



F(.T, «P) = y { ^o, ,. P„ (■'^) + ^ (^ ■» cos :h + Bj„ smj(p) P„j (x)\ 



.1 = 1 



worin den Coefficienten A und B die Werthe 



(118) 



>P„(x)dx, 



Y j dcp j F (x, tp) cos jq) P„j (.t) dx , 



Y I dq) I P(x. <p) sin j(f> P„j (œ) dx 



^2n + l (n-j) \ 

 > 2 -a (n+j) 



2n + l {n —j) 



'" 2ii (n +j) ! 



zukommen. 



65. Nehmen wir jetzt die Randwerthaufgabe dritter Art für den Raum inner- 

 halb einer Kugelfläche vom Radius R in der Form, dass die Werthe von 



k^ + hV, 

 an 



worin k und h Constanten bedeuten, in der Kugelfläche vorgeschrieben sind. Durch 

 angemessene Bestimmung von k und h ergeben sich dann ohne weiteres die Lö- 

 sungen der Randwerthaufgaben erster und zweiter Art. Es sei 



(119) 



\ 



" (^ ^ Ï + '' ^'' ) = Ë I ^" " ^" ^""^ ^ E ^^^" '°' ^" ^ ^'" "'" '"^ ^"' ^ 



Die gesuchte Lösung V. enthält nur positive Potenzen von r und hat die Form 



i, T. XXVI. 



