Aïis dem Gebiete der Kugelfunctionen. 



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(120) 



CO H 



Fi = ^ /•" .-io» P„ (cos e) + ^ {Aj„ uos jV + B„. sin jq>) P„j (cos 6») . 



Hieraus ergiebt sich dureli Differentiation in Bezug auf r 



(121) ^'= y »"•" " ' ! -fo,. -P,, (»^os ö) + y f^ ,,, üos jV + 73,,, sin .;y) P„^. (cos 0)' 



• = ^ ,„•" - 1 .lo,. P„ (cos e) + 2] [Aj, cos . 



«=o 



i = l 



Multiplicirt man die Gl. (120) mit /<, die Gl. (121) mit — /c, nimmt die Summe 

 und substituirt /• = R, cos ö = x, so bekommt man 



(122) r(-^ï^'^'^)= 



"> n 



= ^R"-\hR~k H) j Jo „ P„ (■*■) + ^ (-1,,. COS J,p + Bj„ sin i-p) P„j (^) ! • 



» = o 



j = i 



Indem dieser Ausdruclc mit (119) verglichen wird, ergiebt sich 



Cm 



(123) 



Für die Lösung der inneren Randwerthaufgabe hat man somit 



09 « 



(124) K, = ^ ^,._ij'^_ — { Co,, P„ (cos 0) +2 (C,,, cos i<p + i>^„ sin jcp) P„j (cos 0)j 



66. Die Formeln (119) und (124) sollen jetzt für die inneren Randwerchauf- 

 gaben erster und zweiter Art specialisirt werden. 



Nehmen wir zuerst k~0, h = l, so finden wir als vorgeschriebene Werthe 



/^00 H 



^.- = ^\co„P„ (^) + ^ (C,„ cos jcp + Dj„ sin jq,) P„j (.r) [ 



und als Lösung der Randwerthaufgabe erster Art 



N:o 4. 



