84 Hj. Tallqvist. 



CO M 



(126) ^' = 2 ê 1^''" ■^" ^''^^ ^^ ^2 ^^'" """^ ^'^ "^ ^'" ""'"^ •^*^ '^"■' ^'°^ ^^/ ■ 



Nehmen wir ferner /c=l, /i = 0, so ergeben sich tils vorgeschriebene Werthe 



von ', indem (7oo = sein muss, 



dn 



CO » 



(127 ) I ^ = 5] { Co « -P.. C^-) + 5] (^>' ^""^ ^'^ + ^>' "*"' ^''^) -^••■' ^""^j ■ 



und man bekommt die Lösung der Randv?erthaufgabe zweiter Art 



(128) ^.- = ^°° - 51 "i s^i r" " -^" ^°°^ ^^ + 2 ^^"' """^ ^*^ "^ ^^'" ""''^ ■^''^ ^'" ^""'^ ^M ' 



worin ^oo eine unbestimmte Constante bezeichnet. Um ^oo zu bestimmen, muss 

 ein Werth des Potentials innerhalb der Kugelfläche gegeben sein, z. B. der Werth 

 ^00 iiii Mittelpunkte. 



67. Betrachten wir jetzt die äussere Randwerthaufgabe dritter Art. Es ist 

 gegeben in der Kugelfläche: 



(129) r ('^ ^ + '' ^ j = y I ^0 „ Pu c^-) + Yj (^^« """"^ ^f + ■°>'' **'" -^'"î") ^-^ ^A ■ 



Die gesuchte Lösung F„, welche für r = co verschwinden darf, enthält nur negative 

 Potenzen von r und Imt somit nach (116) die Form 



(130) F„ = y -^ ^oh -P« (cos e) + 2] (-i> cos i^ + £,„ sin jqp) P„^. (cos 0) . 



«=0*^ ' i = ^ 



Aus (130) folgt 



(131) 77^ = - 2j 7^+2 1 ^" " -^" ^"""^ ^-^ ^ 2j '^^^" ""^ ^'^ "^ ^^" ^'" ^'^^ ^"^ ' ■ 



Multiplicirt man die Gl. (130) mit h, die Gl. (131) mit k, nimmt die Summe 

 und substituirt r^B, cosO^a;, so bekommt man 



' ' » = Q / ^ l 



T. XXVI. 



