SUR LES SYSTÈMES COMPLETS ET LE CALCUL DES IlîfYARIAÎfTS 

 DIFFÉRENTIELS DES GROUPES CONTIIfUS FINIS. 



Les groupes continus de transformations, dont la théorie générale a été 

 créée par M. Sorars Lie, jouent un grand rôle dans différentes pai-ties de l'ana- 

 lyse et ils sont, en particulier, d'une importance capitale pour Tintégration des 

 équations différentielles. Dans l'étude de ces transformations on est amené à 

 considérer certaines expressions des variables du groupe et des dérivées de 

 quelques-unes d'entre elles par rapport aux autres ou par rapport à des va- 

 riables auxiliaires, expressions qui servent en quelque sorte à caractériser les 

 groupes mêmes, je veux dire les invariants différentiels. Cette notion n'est pas 

 nouvelle, quelques-uns de ces invariants ayant été connus et étudiés depuis long- 

 temps par les géomètres. Tels sont les paramètres différentiels introduits dans 

 la théorie des siufaces par Mindino et Belteami; l'expression {s, .<■) dont se 

 sert M. Schwarz pour résoudi'e un problème célèbre de représentation conforme, 

 en fournit un autre exemple. Mais ce ne sont là que des cas particuliers; le 

 fait essentiel que tout groupe contiiui admet une intinité d'invariants différen- 

 tiels a été découvert par M. Lie, qui a aussi le premier proposé des méthodes 

 générales pour calculer ces invariants. 



La présente étude a poui' objet le calcul des invariants différentiels des 

 groupes continus unis, c'est-à-dire contenant un nombre fini de pai'amètres. Elle 

 est divisée en quatre chapitres. Dans le premier, après avoir cité quelques 

 détinitions et théorèmes généraux indispensables pour la suite, nous déduisons 

 l'existence des invariants d'un groupe intransitif et la loi de leiu' formation, en 

 partant des équations unies du groupe. La méthode en quelque sorte intuitive 

 dont nous faisons usage, ne sui)pose connues que les propriétés les plus géné- 

 rales des groupes; elle diffère en cela de l'exposition de M. Lie, qui est fondée 

 sur le mode de génération des groupes au nioj'en de transformations infinitési- 



