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maies et sur la théorie des systèmes complets. La même méthode nous con- 

 duit aussi d'une manière simple à déterminer toutes les multiplicités qui restent 

 invariantes par rapport à un groupe donné. 



Le second chapitre est consacré à l'étude des groupes prolongés et des 

 invariants différentiels. Le calcul des ces invariants peut s'effectuer d'après 

 deux méthodes essentiellement différentes, suivant qu'on part des équations finies 

 du groupe considéré ou de ses transformations infinitésimales. La première mé- 

 thode, pour l'exposition de laquelle nous avons mis à profit une remarque im- 

 portante de M. Tresse, n'exige que des différentiations et des opérations algé- 

 briques; d'après la seconde on aura à intégrer un système d'équations linéaires 

 homogènes aux dérivées partielles du premier ordre. — C'est cette intégration 

 qui fait l'objet du troisième chapitre. Les différents procédés qu'on a employé 

 à cet effet jusqu'ici, ont cela de commun qu'on ramène d'abord le système dont 

 il s'agit, à un système comlet, en y ajoutant certaines équations complémen- 

 taires, et qu'on transforme ensuite ce système complet en un autre d'une forme 

 paiticulière. Ces opérations sont souvent assez longues et pénibles, surtout 

 lorsqu'on a affaire à un grand nombre d'équations. La réduction du premier 

 système complet à la forme voulue présente en outre cet inconvénient que les 

 coefficients du système à intégrer deviennent en général moins simples. Or, il 

 est possible d'éviter l'une et l'autre de ces opérations et de simplifier ainsi 

 considérablement le calcul. Nous montrons en effet (n" 21) que, étant donné 

 un système d'équations linéaires à n variables, si l'on a intégré une quelconque 

 de ces équations, on peut ramener le système, par un changement de variables 

 et par des opérations algébriques élémentaires, à un système à w-i variables 

 admettant les mêmes intégrales que le premier. Pour le calcul des invariants 

 différentiels, la méthode que nous proposons, présente encore l'avantage de ré- 

 duire, dans bien des cas, le nombre des opérations nécessaires qui consistent 

 à prolonger les transformations infinitésimales. 



Comme appUcation des théories précédentes, nous effectuons enfin, dans le 

 quatrième chapitre, le calcul des invariants différentiels de quelques groupes 

 particuliers. 



