CHAPITRE I. 



NOTIONS C4ÉNÉRALES SUR LES GROUPES DE TRANSFORMATIONS. 

 INVARIANTS ET MULTIPLICITÉS INVARIANTES. 



1. Nous conmiençons par rappeler quelques définitions et théorèmes gé- 

 néraux (le la théorie des groupes de transformations, dont nous aui'ons à faire 

 usage dans la suite. 



On dit que Tensemhle des transformations 



(1) x/ = fi (,ri • ■ • x„ , fil • ■ • a,) (i = i • • • n), 



cil ai ... «^ désignent des paramèti'es arhitraiies, constitue un groupe continu, 

 si le produit de deux quelconques de ces transformations équivaut à une trans- 

 formation unique comprise dans ce même ensemhle. Les fonctions /i ••■/], véri- 

 fient alors des relations de la forme 



fi (/; {X, a) ■■■ f„ (.V, a), ?>!••• b,) = f {a\ ■ • • a;, , (f^{a,l)--- (f,- [a ,h)) (/ = i • • • w). 



Le groupe est en particuMer dit ù r paramètres, si les paramètres aj . . . a,, sont 

 tous essentiels ^), c. a. d. qu'U est nécessau-e, pour déterminer complètement la 

 transformation (i), d"étahlir entre a■^.■.a,. r relations distinctes. 



Soient donc (i) les équations d"un groupe continu à r paramètres et sup- 

 posons en outre que fi---fn soient des fonctions analytiques dea'i...a-„, a^.-.ar, 

 holomorphes tant que ces quantités restent comprises dans certains domaines 

 finis. D'après M. Lie ") ces fonctions satisfont alors à des équations aux dé- 

 rivées partielles de la forme 



r 



(2) è"^^ ^''■' ^"^"' "'■^" ^■''' ^^''' ■ ■ ■ ^'"'^ (1= i---n,k= i--r), 

 le déterminant des tpji. ne s'anmilant pas identiquement. 



') Sophus Lie, Theorie der Transfm-mationsgruppm (Teubner 1888), I, p. 12. 

 =) Ibid.. p. 33. 



