Vj. Lindelöf. 



Nous ferons encore l'hypothèse que notre groupe contienne hi frmii^fnrijia- 

 tion identique, c. a. d. qu'il existe un système de valeurs «,"... </,,". telles (ju'on 

 ait identiquement 



/;Cn ••■■'■«, < • • . 0,.») = .r; (/= l ■■■„). 



Enfin le déterminant des (/;^,, doit être différent de zéro pour «, = «i", ..., «,.=:rf,,"^). 

 Cela posé, les équations (2) nons donnent, poui- «, = «,", ..., «,.-«,", 



àai- 



fi {X, a) 



,/=1 



= I . . . M, /,; = I • . . r). 



En posant, pour simplitier récriture 

 â 



àcii- 



fi {X, a) 



a = 0," 



hi{:ri---x„). 



on peut tirer des équations ]irécédentes les ^-;, en fonctions linéaires des j;, 



h (*i • • • •'■«) = 2] ^''■' *"'■■'■ ^''' ' ' ' ■'"'* ■ 

 /■=1 



Par cette substitution les équations (2) devieinient 



^^'^ à'al " S ^''^ *^"' ' ■ ■ ''''■'• '^''' ^'''' ■ ■ ■ ^"'^ (/ = I • • • ^^ Z- = I . . . r). 



les (/'m étant de nouvelles fonctions des a dont le déterminant ne s'annule pas 

 identiquement. 



Faisons dans les équations (i) «,. = rf/'^-(V^, . Un aui'a. d"a])rès la notation 

 admise. 



(3) ri-i' = Xi + ^ §,..; (./1 • • . .7„) ôa,, + 



/, = 1 



Il en résulte pour une fonction quelconque f 



(4) fW • • • .r.:) ^ f{x, . . . ,r„) -h ^ X,,, /: Jfl, + 



/.-1 

 11 



àf 



{I - i--v). 



ou 



X,/=^ ?;,.,• (■'•.•••.'■.)/,. (/c=i-.-r). 



En considérant les i)a,, comme des infiniment petits, on peut dire que le 

 groupe (1) contient les transformations infmitrsimales'-) 



') Sophus Lie, Traiisformatioiisyru2)'pen. I, p. OS. 

 "j Ihid.. p. b'S et p. 78. 



