Systèmes complets kt invariants différf.ntiels. 5 



.'■' = .'■; + y ?/.■; (ci ■ ■ • ■>:„) àci/, (i = i ■■■n). 



/, = i 



Ces traiistormatioiis sont complètement déterminées par les expressions X, /"... X,./' 

 (jui peuvent, par conséquent, servir de symboles pour les représenter. Ainsi 

 nous dirons simplement que le groupe (i) confient les iransformations infinité- 

 simales Xi /'. . . X,. f. 



Ces transformations sont iinlrjicndanfes '). en ce sens qu'il n'existe aucune 

 relation de la forme 



les C désignant des constantes (pii ne s'ainiulent pas toutes à la fois, l'oute 

 autre transformation i)itinitésinuile du groupe (i) sera une fonction linéaire à 

 coefticients constants des X^ f. . . .Y,, /'. 



Par les expressions Xi/'... A',./ l'ensemble des transformations du groupe 

 (i) se trouve entièrement déterminé. En effet, il est ])ossihle tï introduire 

 au lieu de a^ ... a,, de nouveaux paramètres A, . . . X,., de manière que les équations 

 du groupe se présentent sotts la forme ^) 



(3') x! = Xi + ^ h X, Xi + 1: ^ h k Xu- (Xj x.) + ■■■ (/=!...»). 



Ceci nous conduit à détinii' le lii-duitc connue étant engendré par les trans- 

 formations infinitésimales A, /-..A',./- l'e cette mode de génération il résulte 

 aussi qu'« tonte transformation du groupe correspond une autre qui en est 

 l'inverse. 



Les équations (3') peuvent être remplacées par la fornuile plus générale ^) 



(4') /(i,- ■ ■ • a„') = /■(.*■, ■ • ■ .r„) + 2] //. X,f+ -1, ^ A, /,. X, (X /■) + •.., 



oii / désigne une fonction quelconque. 



Les transformations intinitésimales X^f...X,.f jouissent encore de la pro- 

 priété importante de satisfaire à des relations de la forme 



(5) Xi {X, / ) — A-, ( X: / ) = 2 Gfc X, /■ (/, /,: = I . . . r) , 



les C'n., désignant des constantes ^). 



') Sophus Lie, Traiti'ormaiiüDS'jnipiii u. I, [i. HT. 

 -) Ibid., p. 75. 

 ') Ibid., p. n. 

 *,) Ibid.. p. 150. 



