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2. Les variables x^... x„ peuvent être interprétées comme les coordonnées 

 d'un point dans l'espace à n dimensions. Fixons dans cet espace un point 

 quelconque Fq , (xi ■ ■ ■ x,f), et considérons l'ensemble, S,.^ , des points où P„ peut 

 être transporté] par les transformations (i) ^). Cet ensemble, que nous appele- 

 rons, pour' abréger, la multiplicité transformée du point P^, est définie par les 

 équations 



xi = fi (xi" • • • .r,,", Ol ■ • • a,) (i = i ■ • • w) , 



où ai-.-a,. désignent des paramètres arbitraires. Soit Pi, {xi...x„), un point 

 quelconque de Sp^ et T une transformation du groupe (i) qui change Fq en 

 Pi. On aui'a, en se servant de la notation usuelle, 



{Po)S = {I\) T- 'S, {P,)S = (Po) TS, 



S désignant une transformation quelconque de notre groupe. Or, d'après la 

 définition même, les produits TS et T~^S sont équivalents à certaines des 

 transformations (i). Les égalités précédentes expriment, par conséquent, qu'on 

 peut atteindi-e tout point de Sp„ en effectuant sur Pi une certaine^ transforma- 

 tion du groupe (i), et réciproqement, que tout point transformé de Pi au moyen 

 d'une transformation du groupe (i) sera contenu dans l'ensemble S^^. En dé- 

 signant par Spj la multiplicité transformée du point Pi, on peut donc affirmer 

 que les deux multiplicités /Sp„ et Sp^ se confondent entièrement. Il en résulte, 

 en posant 



Xi = fi (.l'i" • • • a,'„o, b^--- b,) (/ = I • • • n) , 



que les équations 



Xi' = /;• («!••• .?„, Ol • • • a,) (i = I • • ■ w) 



représentent la nniltiplicité 5y.„ quels que soient les paramètres &i . . . i, . 



On dit que le groupe (i) est transitif-), si la transformée Sp est une 

 multiplicité à n dimensions toutes les fois que le point P ne satisfait pas à 

 certaines conditions particulières. Si, au contraire, le nombre des dimensions 

 de Sp est inférieur à n quel que soit le point P, le groupe est dit intransitif. 

 Dans ce cas il existe entre :/'i . . • x„ , ic/ . . . x,' des relations, qu'on obtient en 

 éliminant les paramètres «i-..«,. entre les équations (i). Pour que cette éli- 

 mination soit possible il faut et il suffit que tous les déterminants d'ordre n 

 (c. a. d. contenant n- éléments), compris dans la matrice 



') Cf. Sophus Lie, Transformationsgruppen, I, p. 224. 

 -) Ibid., Chap. 13. 



