Systèmes complets et invariants différentiels. 



dOr 



aß 

 (6) àoi dOi da,- 



. ! 



àfn ! 



da,. 1 



soient ideiitiqueiiieiit nuls. Il est évident, dès lois, qu'un groupe est toujours 

 intreansitif lorsque le nombre des variables dépasse celui des paramètres. 



Dans ce qui suit, nous admettrons que le groupe (i) est intransitif et que 

 tous les déterminants d'ordre w, w-i, ....q+i, contenus dans la matrice (6), 

 s'annulent identiquement, mais que, parmi les détenninants d'ordre q , il en existe 

 au moins un qui ne soit pas identiquement nul. Soit 



D(x, 



■ x„, a. 



■a,) 



ô{a, ■■■a,j) 

 un tel déterminant et supposons en particulier que 



jy(,/;,»...x„«,«, ...«,.) + 0, 



^1 



■ ■x,°, «i-..«,. désignant un système de valeurs pour lesquelles les fonctions 

 f„ se comportent d'une façon régulière. En faisant 



on poirrra limiter une région X (à n dimensions), contenant dans son in- 

 térieur le point Xi^... x,^\ et une région B (à r dimensions) autour des valeiu's 

 a° ... a,?, de manière à satisfaire à la condition suivante : tant que le point 

 Xi... x„ est situé dans la région X et que les valeurs de ij . . ■ h,, sont compri- 

 ses das la région B, le déterminant D (äi, . . . .r„, a^... â^) sera différent de zéro. 

 Dès lors, en désignant par P, {.i\ . . . ./•„), un point quelconque de X, les q pre- 

 mières équations du système 



(7) x! = /;■ (a-i • ■ . ./•„ , fli . . ■ a,.) (■/ = I . ■ . »?.), 



lequel, d'après ce que nous avons démontré plus haut, représente la multiplicité 

 iSp, pourront être résolues par rapport à «i . . . a,^ , tant que les valeui's de ^;, . . . i,. 

 resteront comprises dans B. Soient 



(8) a,- = (/'/ (•'T'i ■ • ■ .'■,,, .<i' ■ • • X,;) (/ = I ■ • • q) 



'3+1 J 



a,.. Il sera 



les expressions ainsi obtenues, où l'on a mis a,,+i = a, 



évidemment possible de choisir les régions X et B de manière à satisfaire 



