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encore aux conditions suivantes: l:o les fonctions il\...ip,j seront liolomorplies 

 pour toutes les valeurs de .*•, . . . x„ . h^... h,. . comprises respectivement dans X 

 et B, tant que le point .t/...;*-,/ se trouve à rintérieui' d'une certaine région 

 X' (à q dimensions); ±o dans la même supposition les équations (8) ne don- 

 neront que des valeurs «i-.ft,^ pour lesqiielles les fonctions 



se comportent régulièrement, tant que le point Xf-x,, ne sortira pas de la 

 région X. 



Ces conditions étant remplies, si Ton substitue dans les n-q dernières 

 équations (?) aux «i.-.(/,^ leurs expressions (8). les é(iuations de la multiplicité 

 Sp prendront la foiine 



(9) u;j+; - j] (./,1 • ■ • x„ , ,(■/ ■ • • .>;,') (i ~ i ... n-q). 



D'autre part la même multiplicité peut évidemment être représentée i)ar les 

 équations 



( 10) x!j+; = /;■ (,<i • • • .r„, .(■/ • ■ • icj) (/ = I • • . n-q). 

 On aura donc les relations 



(11) /; (j\ ■ ■ ■ .(■„ ,Xi--- .(■,/) = /; (a,'] • ■ ■ j;, , .r/ • • • x,j') (i. = i ■ • • u-q) , 



à condition que les valeurs des x, h et x sei'ont comprises respectivement dans 

 X, B et X' et comme /1 ■••/«-.; sont des fonctions analytiques de ces variables, 

 il en résulte que les dites relations subsistent identiquement. 



Si l'on attribue à x{...x,[ des valeurs fixes quelconques «^...a.^, apparte- 

 nant à la région A", et (lu'on fasse 



/;■ (.t'i • • • X,„ «1 • ■ • «,j) = U: {Xi ■ ■ ■ X„) (i = I • • ■ n-q), 



le résultat précédent pouna être énoncé comme il suit : 

 Les fonctions 



Ui (Xi ■ ■ ■ x„) U„-..,j (a-i • • • x„) 



ne changent pas de valeur lorsqu'on effectue sur les variahlcs x^.-.x,, une 

 transformation quelconque du groupe (i). 



Elles constituent ainsi des invariants par l'apport à ce groupe. 



Revenons aux équations (lo). Comme il ne peut exister aucune l'elation 

 entre xî . . . x,', les expi'essions /, . . • f,_,j seront indépendantes, considérées comme 

 fonctions de Xi...x„. Par suite les invariants U^...U„^,j seront aussi indépen- 

 dants entre eux, à moins que les constantes «i . . • u,^ n'aient pas été choisies 



